不定積分

質問

量子力学の演習をしている途中、積分計算でつまずいてしまいました・・・
∫(ｘ＾m)/{exp(-1/x^n)-1} dxですがどうしたらいいんでしょうか。教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

adinat さんのおっしゃるように，元の積分は一見して無理という感じです．

> ∫（０⇒∞) (ｘ＾3)/{exp(x)-1} dx=π^4/15とあったのでこれを一般化した質問の式
> の不定積分も出来るのではないかと思ったのでした。
> ところで上記の定積分はどのようにして求めるのかご教示頂けないでしょうか。

これができるからと言って，一般化して不定積分にしてできるとは限りませんね．
そもそも，補足の積分も 0 から無限までの定積分だから求められるので，
不定積分は初等関数では書けません．

それから，式の中にこういう定積分が出てきたときに，
きれいな形で積分値が表せないからと言って悩む必要は全くありません．
単なる数値なのですから 7/5 とか πe^2 とか，と全く変わりはありません．
単なる数値にするために，
この前のステップで積分変数の変換をして温度 T 等を追い出し，
積分結果に T 等が含まれないようにしているのです．

さて，上の積分は π^4/15 ですが，展開して項別積分で示せます．
x^3/(e^x-1) = x^3 e^(-x) / {1-e^(-x)}
として，
1/{1-e^(-x)} = 1 + e^(-x) + e^(-2x) + e^(-3x) + ...
と展開しますと，一般項は x^3 e^(-nx) の形です．
これを 0 から ∞まで積分しますと 6/n^4 になりますから
補足の積分は
6Σ{n=1 →∞} {1/n^4}
です．
Σ{n=1 →∞} {1/n^4} = π^4/90
と組み合わせて，積分値は π^4/15 とわかります．

お礼

回答ありがとうございました。なるほどという感じです。
それにしても、黒体放射という結構マクロな現象からプランク定数という基本定数が見出され、量子力学が始まったのは面白いと思いました。

回答No.1

adinat

不定積分を求めるのはおそらく不可能です。超越関数の類でしょう。一応mathematicaでも試してみましたが、出来ませんでした。

ここでやれといわれて出来る自信はまったくありませんが、もし不定積分ではなく定積分の計算をしろ、という問題なのであれば、たとえば留数計算か何かで求めるすべはあるのかも知れません。

お礼

回答ありがとうございました。＃２さんの回答と合わせて疑問は解決しました。

補足

回答ありがとうございました。この不定積分は求められないんですね、すみません。
実は量子力学の教科書にプランクの式の積分問題があって
∫（０⇒∞) (ｘ＾3)/{exp(x)-1} dx=π^4/15とあったのでこれを一般化した質問の式の不定積分も出来るのではないかと思ったのでした。
ところで上記の定積分はどのようにして求めるのかご教示頂けないでしょうか。