対数を含む証明をおしえてください

質問

∫((f(x)')/f(x))=log|f(x)|
f(x)=tとし,両辺を微分することで証明せよという問題でした。
教科書を調べてみても全然わからなかったので、どなたか、手が空いてるときでかまいませんので教えてください；；
できるだけ詳細だとありがたいです。

回答No.1

YHU00444 · ベストアンサー

まず、f(x)=tで両辺の絶対値の対数をとります。
log|f(x)|=log|t|

さて、この両辺をxで微分すると
d/dx(log|f(x)|)=d/dx(log|t|) …(a式)
となるのですが、これを合成関数の微分と見なして変形してやると、
(右辺)={d/dt(log|t|)}*dt/dx=1/t*t' …(b式)
(左辺)=d/df(x)(log|f(x)|)*df(x)/dx=1/f(x)*f'(x)

よって1/f(x)*f'(x)=t'/tとなるので、辺々にtを掛けてやるとt/f(x)*f'(x)=t'となりますが、いまt=f(x)ですからt/f(x)は1なので、t'=f'(x)となることが判明しました。

※この辺はちょっとややこしいのですが、要は対数という変換操作を受けたものを辺々微分して両辺が一致したとしても、元の式の微分まで確実に一致するかどうかは必ずしも明らかではないので、あえて一々計算してやることで「確かに一致するよ」と示しているわけです。

で、これを上のa式とb式に入れてやって整理すると、
d/dx(log|f(x)|)=f'(x)/f(x)となるので、両辺を積分すれば、確かに∫((f'(x))/f(x))=log|f(x)|となることが証明されました。（終了）

お礼

ありがとうございました。
とても丁寧な解説をつけてくださったおかげで、すぐに理解することができました。参考にしてみます。