ある問題集の解説に、

質問

ある問題集の解説に、

∫ from 1 to x, f(t) dt = 3x^2-5x+2
の両辺を微分して
f(x) = 6x-5

とあったのですが、左辺がどうしてこのように微分できるのかがわかりません。
どなたかご教授いただけますでしょうか?よろしくお願いいたします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

f(x)を不定積分した結果をF(x)と置きます。
∫ from 1 to x, f(t) dt
= [F(t)]from 1 to x
= F(x) - F(1)
となるのは大丈夫ですか？

∫ from 1 to x, f(t) dt = 3x^2-5x+2
なので
F(x) - F(1) = 3x^2-5x+2
となります。

両辺を微分することを考えます。
左辺のF(x)は微分するとf(x)になりますよね。
左辺のF(1)は定数なので(変数xが存在しないので)、微分すると0です。
右辺を微分すると6x-5です。
よって
f(x) - 0 = 6x-5
∴f(x) = 6x - 5
となります。

お礼

定積分の定義まで戻って考える必要があるのですね。

助かりました。ありがとうございます。

回答No.3

htms42

左辺の微分は
ｌｉｍ(Δｘ→０)［∫(１ｔｏｘ＋Δｘ)ｆ(ｔ)ｄｔ－∫(１ｔｏｘ)ｆ(ｔ)ｄｔ］／Δｘ
＝ｌｉｍ(Δｘ→０)∫(ｘｔｏｘ＋Δｘ)ｆ(ｔ)ｄｔ／Δｘ
＝ｌｉｍ(Δｘ→０)［ｆ(ｔ)Δｘ］／Δｘ
＝ｆ(ｘ)

お礼

前のお二人とは違う、導関数からのアプローチも可能なのですね。勉強になります。

回答ありがとうございました。

回答No.1

info22_

f(t)の原始関数をF(t)と置くと
F'(t)=f(t)…(1)
∫[1,x] f(t) dt=F(x)-F(1)=3x^2-5x+2 …(2)
ですね。
これをxで微分すると、F(1)は定数なので
d{∫[1,x] f(t) dt}/dx=F'(x)=6x-5

お分かりですか？

お礼

よく理解できました。

迅速な回答をありがとうございました。