f(2x)=2f(x) の両辺を微分すると 2f'(2x)=2f'(x) となることの証明

質問

f(2x)=2f(x) の両辺を微分するとどうなるか？
答えは 2f'(2x)=2f'(x) でした。なんとなくそうなることは
わかります。でも証明ができません。具体例を作って実験して
成功しても、成功例がひとつあることは証明にはなりませんよね？
どうやったら証明、あるいは納得できるでしょうか？

回答No.2

tarame · ベストアンサー

導関数の定義式から
f(2x)の導関数
＝lim[h→0]{f(2(x+h))-f(2x)}/h
＝lim[h→0]{f(2x+2h)-f(2x)}/h
＝lim[h→0] 2{f(2x+2h)-f(2x)}/2h
（2h＝k とおくと）
＝lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k
＝2f ' (2x)

お礼

ｘが２ｘになっただけですごく難しく感じます。
でも、教科書レベルで説明できるのですね。
納得しました。回答ありがとうございました。

回答No.4

usatan2

f(2x)=2f(x) を
f(2x) - 2f(x) = 0
という方程式だと思って、微分したらどうですか？

お礼

なんだかすごく難しくなったような気がします。
たぶんそれができるのはこの問題を理解できる
以上の人のようなきがします・・・
回答ありがとうございました。

回答No.3

tatsumi01

> f(2x)=2f(x)
この式の意味をどう理解していますか。微分するといっている以上 f は関数ですね。

しかし、f が任意の関数だったら上式は成立しません。"f(x)=3x+5" でも何でも良いけれど、成立しない関数が大半でしょう。

つまり、"f(2x)=2f(x)" はある制限を満たす関数を定義したことになっています。そのような関数では "2f'(2x)=2f'(x)" が成立するのです。左辺の微分は皆さんが示されている通りです。

お礼

基礎的だけどすごく重要なことをおっしゃっているような
気がします。でもなんか理解できないというか届かない感じです。
こういう日本語苦手です・・・
もう少しでわかりそうなんですけれども。
回答ありがとうございました。

回答No.1

masudaya

右辺は当たり前なので左辺だけ
f(2x)で2x=uとすると
d f(u)／dx=du/dx*df(u)/du＝2*f(u)=2f(2x)
です.

お礼

回答ありがとうございます。
納得できました。