SH波の表面での反射では表面の変位が入射波の変位の2倍になる証明

質問

問題は、「SH波の表面での反射では、表面の変位は入射波の変位の２倍になる。このことを証明せよ」です。
要は下記を参考に、ui+ur=2uiというのを証明すればいいみたいです。

入射波　ui=Aiexpiω{t-(xsini-zcosi)/V1}
反射波　ur=Arexp{t-(xsini+zcosi/V1}
※iは入射角(=反射角)です。ui,Aiのiは添え字です。

で一応私は次のように解いていきました。
ui+ur
=e^(iω)[Aiexp{t-(xsini-zcosi)/V1}+Arexp{t-(xsini+zcosi)/V1]
=e^(iω)[Ai・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{(e^(zcosi/V1)+Ar・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{e^(-zcosi/V1)}]

=e^(iω)[Ai・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{(e^(zcosi/V1)+RAi・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{e^(-zcosi/V1)}] ※R(反射係数)=Ar/Ai

=Ai{e^iω(t-xsini/V1)}{(e^zcosi/V1)+R(e^-zcosi/V1)}

=Ai{e^iω(t-xsini/V1)}(1+R)

というところまで、自分の勘でやってみたのですが、やっぱり2uiになりません。1+R=T (※T(透過係数)=At/Ai)　という式もあるようですが、この問題に役に立つのかわかりません。どなたか、ui+ur=2uiを示せる方、ご指導よろしくお願いします。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

No1の補足に書いてある式はちょっと違いますね。
∂(ui+ur)/∂z
=iωAicosi/V1・expiω{t-(xsini-zcosi)/V1}-iωArcosi/V1・expiω{t-(xsini+zcosi)/V1
となりますので、ここで境界条件を考慮します。x=0,z=0で上式の右辺が０ですから、
(Ai-Ar)iωcosi/V1・expt=0
となりますね。ω,cosi,exptは０ではない（cosi=0なら入射角が９０度になってしまいますから変ですよね）ので、
Ai-Ar=0
となるのです。

お礼

〆切がきたので、これで提出させてもらいます。ご回答どうもありがとうございました。

補足

なるほど。そして、自分なりに噛み砕いて、以下のように解いてみたのですが、これでよいのでしょうか？
∂(ui+ur)/∂z
=∂[Aiexpiω{t-(xsin/V1)+(zcosi/V1)}+Arexpiω{t-(xsini/V1)-(zcosi/V1)}]/∂z
=(Aiiωcosi/V1)expiω{t-(xsini-zcosi)/V1}-Ariωcosi/V1expiω{t-(xsin+zcosi)/V1}
ここで境界条件はx=0,z=0なので
∂(ui+ur)/∂z
=Aiiω(cosi/V1)expiωt-Ariω(cosi/V1)expiωt
=(Ai-Ar)iω(cosi/V1)expiωt=0
∴Ai-Ar=0
よってAi=Ar…(1)
反射した点ではx=0,z=0となるので
ui=Aiexpiωt
ur=Arexpiωt

ui+ur
=(Ai+Ar)expiωt
=2Aiexpiωt
=2ui
よってSH波の表面での反射は、入射波の変位の2倍になる。

回答No.1

ojisan7

入射波はそれで良いですが、反射波のexpの指数部分にiωが抜けていますね。正確には、ur=Arexpiω{t-(xsini+zcosi)/V1}ではないですか？
ui+urの計算を長々と行っていますが、これでは何も進展しませんね。ここで、大切なことは、「境界条件」です。SH波の場合、境界面での境界条件は、ｚ方向（境界面に垂直な方向）の応力テンソルの成分が０であることです。
計算すべきことは、ui+urをzで偏微分して、それを０と等値します。境界面面では、x=0,z=0ですから、(Ai-Ar)iωcosi/V1=0となりますので、Ai=Arが導かれます。また、ui+urの境界面での値は明らかに、(Ai+Ar)expiωtですよね。だから入射波の２倍になるのです。

補足

iωが抜けていました。失礼しました。
回答ありがとうございます。
さっそく計算してみたのですが、x=0,Z=0より、(Ai-Ar)iωcosi/V1=0となるところがよく分かりません。そしてなぜその式から、Ai=Arが分かるのか分かりません。
一応ご回答を参考に下記のように計算してみたのですが、行き詰まってしましました。
∂(ui+ur)/∂z=0
境界面ではx=0,z=0なので
∂(Aiexpiωt+Arexpiωt)/∂z=0
∂(Ai+Ar)expiωt/∂z=0