ダイヤフラムたわみ量の計算式

質問

半径がaで厚さがtの円形ダイヤフラムが周囲を固定されている.ここに圧力差Pが掛かったときに,中心からrの地点での変位をωとする.ダイヤフラムを構成する材料のヤング率とポアソン比をE,vとすると変位はωは

ω=3/16*((1-v^2)/(E*t^3))*P*(r^2-a^2)^2

で与えられると教わったのですが,どのように導かれたのかが,わかりません.導出が書かれている文献などをお教えいただけると,うれしいです.
(導出方法を教えていただけるともっとうれしいです.)
よろしくお願いします.

回答No.2

k_riv · ベストアンサー

梁などの弾性材料のたわみ曲線の微分方程式
d^2w/dx^2=-M/EI　・・・(1)
は，材料の１方向(x)についての式ですが，
(1)式を求めた方法と同様の方法を，２方向(x,y)に拡張して，平板のたわみに関する基礎方程式（微分方程式）を求めると，
(d^4)w/(dx^4)+2・(d^4)w/(dx^2・dy^2)+(d^4)w/(dy^4)=p/D　・・・(2)
となります。この式(2)は，平板，円板に関して最も有名な式です。

(2)式を，積分を繰り返し(w)について解いた式
w=(C1+C2r^2+C3log(r)+C4r^2log(r)+pr^4/64)/D　・・・(3)
について，周辺固定円板の境界条件(撓み(w)=0，撓み角(i)=0｜(r=a))のもとで，積分定数(C1～C4)を確定すれば，円板の変位を表す式を求めることが出来ます。

ここで，具体的な方法は下記の文献を参照して頂く，ものとして，
結果，変位を求める式は，
w=Pa^4/64D・(1-r^2/a^2)^2　・・・(4)
になります。

(4)式に，板剛性：D=Et^3/12(1-v^2)を代入すれば，
質問者さんの式
ω=3/16*((1-v^2)/(E*t^3))*P*(r^2-a^2)^2
になると思います。

微分方程式の導き方，具体的解き方や境界条件の与え方については，余りにも煩雑すぎるのでここでは省略しましたが，
平板の基礎理論　半谷裕彦　彰国社　1995
現代材料力学　渋谷寿一，本間寛臣，斉藤憲司著　朝倉書店　1986
などの，平板理論に関する記述を参考に出来ると思います。

私の知る限りでは，平板理論に関して具体的な解き方等まで記述してある日本語の書籍は，非常に少なく，探すのが大変です。もっと詳しく知りたい場合は，
STRENGTH　OF　MATERIALS　Morley　Longmans,Green　1925　
などの原書しかないようです。しかし，これらの古い書籍も絶版になっている場合が多いので，書店では手に入らず，図書館等で探すしかないようです。

以上，参考になれば幸いです。

お礼

具体的記載くださりありがとうございます.
参考にします.

回答No.3

k_riv

計算過程そのものではありませんが，具体的な方法が，割と詳しく記述してある書籍を見つけましたので，追記します。

構造力学　第III巻　板の力学　成岡昌夫，丹羽義次，山田善一，白石成人著　丸善(1970)　P129～P134

お礼

ありがとうございます.参考にします.

回答No.1

green20005

これかなあ。
http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=1647362
OKwaveって回答者を指名できるといいかもね。

お礼

早速の回答ありがとうございます.
英語ですかぁ・・・がんぱって見ます.