数Ｉ 二次方程式の応用題!!

質問

各辺の長さが1である正方形ABCDに対して、
辺BC上に点P,辺CD上に点Qをとって正三角形APQを作る。
このとき、正三角形の1辺の長さは(ア),正三角形の面積は(イ)である。

という問題です；
三平方で１辺の長さを求めようと思ったのですがうまくいかず…
二次方程式を使って求める方法を、どなたかご説明お願いします＞＜

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

ＢＰ＝ｘ　としますと、△ＡＢＰにおいて、三平方の定理より、
　　ＡＰ＝√(1-x^2)

　△ＡＢＰと△ＡＤＱにおいて、ＡＰ＝ＡＱ、ＡＢ＝ＡＤ、∠Ｂ＝∠Ｄ＝∠Ｒ　で、直角三角形の斜辺と他の1辺の長さが等しいので、△ＡＢＰ≡△ＡＤＱ
　∴ＤＱ＝ＢＰ＝ｘ
　　ＡＱ＝ＡＰ＝√(1-x^2)

　ところで、△ＡＰＱは正三角形なので、
　　ＰＱ＝√(1-x^2)
　また、
　　ＰＣ＝ＢＣ－ＢＰ＝１－ｘ
　　ＱＣ＝１－ｘ

　△ＣＰＱにおいて三平方の定理を適用すると、
　　ＰＱ^2＝ＣＰ^2＋ＣＱ^2
　　1+x^2＝2(1-x)^2
　∴ｘ＝２±√3

　０＜ｘ＜１でなければならないので、
　　ｘ＝２－√3

　従って、正三角形△ＡＰＱの１辺の長さは
　　√(1+x^2)＝√(8-4√3)＝√2（√3－１）＝√6－√2

　正三角形△ＡＰＱの面積は、
　　(1/2)×(√6－√2)^2×√3/2
　＝２√3－３
となります。

回答No.6

noname#101087

オプションを二つ。

　　(1) 対角線(AC)長 = SQRT(2) = x*COS(60)+x*SIN(60) から。
　　(2) 辺(AB)長 = 1 = x*COS(15) から。

「二次方程式まがい」が現れるのは (2) です。
半角勘定により
　　COS(15) = SQRT[{1+COS(30)}/2] = SQRT{2+SQRT(3)}/2
となり、[2+SQRT(3)] を ( ? )^2 の形にしたくなります。
二倍すれば、
　　4+2*SQRT(3) = {SQRT(3)+1}^2
になります。結局、
　　x = 1/COS(15) = 2*SQRT(2)/{SQRT(3)+1}
となります。

(1) なら、同じ結果をすんなり出せますけど。(一次方程式)

x から面積、は省略。

回答No.5

noname#47975

△ＰＣＱは直角二等辺三角形である事を利用しても解けます。

まず、正三角形の一辺をｘとおくと、
ＰＣ　＝ ＣＱ　＝(√２/２)ｘとなる事から、

ＱＤ　＝ ＣＤーＣＱ ＝ １ - （√２/２）ｘ －－－－ (1)
ＤＡ　＝ １　　－－－－－－(2)

となります。
ここで、ピタゴラスの定理より、

ＱＤ^２ + ＤＡ^２ = ＡＱ^２－－－－(3)

ＡＱは正三角形の一辺なので、ＡＱ = ｘあり、
(1)(2)より、これらを(3)式に代入すれば

(１-√２/２ｘ)^２ + １^２ ＝ ｘ^２ となり、
ｘ^２ + ２√２ｘ －４ ＝０　－－－－ (4)

を得ます。

後は(4)の二次方程式を解けば、

ｘ ＝ ー√２±√６
ｘ ＞ ０より、ｘ ＝ -√２+√６となり、
三角形の一辺の長さは、√６-√２となります。

正三角形において一辺がｘならば、
面積は１／２× ｘ　× √３／２、すなわち
√３／４ｘ^２となるので、

(√３/４)ｘ^２
=(√３/４)(√６-√２)^２
= ２√３ - ３

となります。

回答No.4

zk43

正三角形の一辺の長さをxとすると、BP=√(x^2-1)、CP=1-√(x^2-1)
DQ=√(x^2-1)、CQ=1-√(x^2-1)
次に直角三角形CPQでピタゴラスの定理を適用してみるとxがでる。

回答No.2

Quattro99

すみません。2次方程式でというのを見てませんでした。
BP=a、CP=bとして求まりませんか？

回答No.1

Quattro99

△ABPの内角を考えてみてください。