図形の問題教えてください

質問

正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの中点をＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓと
します。ＡＱ、ＢＲ、ＣＳ、ＤＰを結んだときに正方形の内部にできる
小さな正方形の面積がＡＢＣＤの面積の５分の１であることを、小学生
にわかるように説明するには、どうしたらいいでしょうか？

回答No.3

xinman · ベストアンサー

方眼紙を使いましょう。
正方形ABCDを
点A（2,6）、点B（0,2）、点C（4,0）、点D（6,4）
となるように書きます。
こうすると、
点P（1,4）、点Q（2,1）、点R（5,2）、点S（4,5）
となるので
後は面積の計算でも、
マス目を数えるでもやらせて見ましょう。

これは各点の座標が0以上の整数で表せ、かつ、最小になる座標です。
ちなみに正方形ABCDの面積は20、小さな正方形の面積は4になります。

また、各点のX座標、Y座標をそれぞれ半分にすると、
点A（1.0,3.0）、点B（0.0,1.0）、点C（2.0,0.0）、点D（3.0,2.0）
点P（0.5,2.0）、点Q（1,0.5.0）、点R（2.5,1.0）、点S（2.0,2.5）
正方形ABCDの面積は5、小さな正方形の面積は1になります。
方眼紙のマス目を0.5単位で取れる（小数が使える）なら
こちらの方が良いかもしれないですね。

お礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすいですね。三角形の面積公式だけで解けるので、こ
れならばっちり教えられそうです。正方形ＡＢＣＤの１辺を整数にし
て考えていたので、斜めにするのは盲点でした。

回答No.4

Hyper30

こんなのは如何でしょう．

keronyanさんの記号を使わせて頂きます．
平行四辺形AQCSの面積は元の正方形ABCDの1/2ですね．

台形AHGSの面積と求める正方形EFGHの面積との比を求めます．

AH : HE = 1 : 1
AH : SG = 2 : 1 (この二式は中点連結定理を知ってれば
分かりますが，小学校で習う範囲かはわかりません)

従って
台形AHGS : 正方形EFGH = 3 : 4

台形EQCFも同様ですから
平行四辺形AQCS : 正方形EFGH = 3 + 4 + 3 : 4 = 10 : 4

以上から
正方形ABCD : 正方形EFGH = 20 : 4 = 5 : 1

お礼

回答ありがとうございます。
中点連結定理は塾で習っているので、理解できるかなと思います。わ
たしにとっては、Ｈｙｐｅｒ３０さんの解法が計算が少なくて好みで
す。

回答No.2

kokonoe

実際に正方形の紙（折り紙とか）に線を引いて切ってみましょう。「小さな正方形」のほかに三角形が４つと台形が４つできると思うのですが、これをパズルのように上手に組み合わせていくと、「小さな正方形」の４倍の大きさの正方形ができるはずです。
厳密な証明ではないし、「どうして？」と聞かれても説明できませんが、視覚的には理解できるかな、と。

お礼

回答ありがとうございます。
以前、８×８の正方形を切り合わせて１３×５の長方形にするという
インチキパズルをしてみせたことがあるので、切って合わせてホラ！
では、ちょっと納得しないかも、、、。

回答No.1

keronyan

AQとBRとの交点をE、BRとCSとの交点をF、CSとDPとの交点をG、DPとAQとの交点をHとおきます。
AとFとを結ぶ線を引き、その中点をXとおくと
三角形ABEとAFEが等しく、AHXとFGXとが等しければ四角形EFGHは四角形ABCDの5分の位置であることが判ります。
証明は相似形と合同系の条件を見いだせばいいのですが、
小学生ならば紙に同じ絵を描いて、三角形を切り出して大きさを比較してやればいいのでは。

お礼

さっそくの回答ありがとうございました。
説明不足でしたが、小学生といっても六年生ですので、紙を切って
同じでしょ？では納得しないでしょうねー。かといって、三角形ABE
とAFEが等しいという証明を説明するのも大変です。