四面体における重心

質問

四面体ABCDの頂点Aから底面に引いた垂線AHは
この四面体の外接円の中心によって
２:１に分けられるのですよね？

これはこの四面体の形によらず成り立つのでしょうか・・？

高校数学の三角比の分野です。。お願いします。

回答No.3

zarbon · ベストアンサー

まず、一般に四面体にも三角形と同様に外心、内心、重心、傍心が存在します。
しかし、垂心(各頂点から対面へ下ろした垂線の交点)は必ずしも存在しません。
垂心が存在するのは、直辺四面体と呼ばれる3組の対辺がそれぞれ垂直である四面体に限られます。
そして、重心(各頂点と対面の三角形の重心を結ぶ直線の交点)は頂点と
対面の三角形の重心を結ぶ直線を頂点側から3:1に内分します。

math_techさんが言われているのは正四面体のことだと思いますが、
正四面体では、垂心・外心・重心が一致するので垂線は重心を通り、
「四面体ABCDの頂点Aから底面に引いた垂線AHは
この四面体の外接球の中心(重心でもある)によって
３:１に分けられる」と言えます。

お礼

ありがとうございました
当方物理も勉強しておるのですが、
質問者さんのお陰がありまして重心というものが段々と分かってきました。
ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

えっと... どこから突っ込むべきなんだろ....
・「四面体の外接円」って何だ?
・多分 2:1 じゃないと思う
・四面体に外接する球の中心が AH上にあることすら保証されない
くらいかなぁ....

お礼

説明不足でした。申し訳ございません。
当方重心の意味から再確認し、
かつ質問者の皆様のお陰もありまして、
ようやくわずかながら理解して来たようです
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

＞四面体ABCDの頂点Aから底面に引いた垂線AHは
＞この四面体の外接円の中心によって
＞２:１に分けられるのですよね？

　これは「等面四面体」だけについていえることではありませんか？
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch03/node19.html
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch03/node20.html

　きちんと計算していませんが、ペッタンコにつぶれた四面体や、横にひしゃげた四面体では、外接円の中心が四面体の外にあることもありますよ。

お礼

ありがとうございました。
２：１ではなくて３：１でした。
説明不足ですいませんでした。
重心の意味から再確認してみます。
URLも参照したいと考えております。
ありがとうございました。