数学得意な方教えて下さい！！

質問

ｒはｒ＞1を満たす実数とする。複素数ｚが｜ｚ｜＝ｒ　を満たすとき、ｚ＋1/ｚ（ｚ分の1）の絶対値の最大値・最小値を求めよ。　という問題です。分からなくて困っています。よろしくお願いします。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

三角不等式はベクトル的に理解するのが直観的には一番で，
2つの長さが決まったベクトル(とみる)z1,z2のベクトル和の大きさ(絶対値)について
最大になるのは，勿論2つのベクトルが同じ向きの時(同じ向きに平行の時)で，最大値は長さの和．
最小なのは逆向きに平行で(引き算になって)一部[または全部]打ち消しあうときで，最小値は長さの差(≧0)です．
するとzの絶対値がr, 偏角がθの時, 1/zの絶対値は1/r, 偏角は-θであることに注意すると，
結論はPaxilさんのおっしゃるように明白で，最大値 r+1/r (z=±rで実数のとき)，最小値 [r>1なので] r-1/r (z=±irで純虚数のとき)となります．

[別解(愚直なやり方)]
この場合，|z|=r(一定)より，ｚ＝ｒ(cosθ+isinθ)[大きさr, 偏角θ]とすると
1/z は大きさ1/r, 偏角-θで 1/z=(1/r){cos(-θ)+isin(-θ)}=(1/r)(cosθ-isinθ)です．
するとｒ≠１のとき, z+1/zは虚部も存在して，一般形は
z+1/z=(r+1/r)cosθ＋i(r-1/r)sinθ
です．
ここから
|z+1/z|^2=(r+1/r)^2・cos^2(θ)+(r-1/r)^2・sin^2(θ)
=(中略)=(r^2+1/r^2)+2{cos^2(θ)-sin^2(θ)}
=(r^2+1/r^2)+2cos2θ
これの最大値はcos2θ=1 (θ=0,π)のときに(r^2+1/r^2)+2=(r+1/r)^2
また最小値はcos2θ=-1 (θ=±π/2)のときに(r^2+1/r^2)-2=(r-1/r)^2
よってr>1も考えると|z+1/z|は
最大値 r+1/r (z=±rで実数のとき)，最小値 r-1/r (z=±irで純虚数のとき)

お礼

詳しく教えていただき本当にありがとうございました。分かりやすかったです。

回答No.5

roro02

すいません。

|z+1/z|=2r|cosθ|
と書いたのは誤りです。本当にゴメンナサイ。

No2の回答は無視してください。

回答No.4

oshiete_goo

先ほどの別解よりも多分普通の(現実的)解答を.

[別解その2]z・z*=|z|^2 に注意して
|z+1/z|^2
=(z+1/z){z*+1/(z*)}
=|z|^2+1/|z|^2 +{z/(z*) + (z*)/z}
=r^2+1/r^2+{z/(z*) + (z*)/z}・・・(1)

ここで z＝ｒ(cosθ+isinθ)とするとz*＝ｒ(cosθ-isinθ)
でz/(z*)=cos2θ+isin2θ, また(z*)/z={z/(z*)}* はその共役複素数で
(z*)/z=cos2θ-isin2θ

すると[{z/(z*) + (z*)/z}はz/(z*)の実部の2倍で]
(1)=r^2+1/r^2+2cos2θ
以下同様にて略.

回答No.2

roro02

｜ｚ｜＝ｒよりｚ=ｒ(sinθ＋i sinθ)と書ける。（0≦θ＜2π）

ｚ＋1/ｚ=2r cosθより
|ｚ＋1/ｚ|=2r|cosθ|

故に、与式の最大値は2r(例えばθ=0)、最小値は0(例えばθ=π/2)になります。

＞Paxil様
三角不等式を用いて最大・最小が求められる方法について興味があります。お手数ですが回答願えますか？　特に三角不等式において等号がなり立つときの条件に関して詳しくお願いします。

回答No.1

Paxil

二つの複素数z1,z2 に対して

　　||z1| - |z2|| <= |z1 +(-) z2| <= |z1| + |z2|

なる関係が成り立つことが知られています．（三角不等式）

　これを使えばすぐに導けます．

お礼

素早い回答をありがとうございました。三角不等式で解く方法知りたいです。もしよかったら教えて下さい。