x^3+y^3+z^3の最大最小

質問

「実数x,yがy+z=1かつx^2+y^2+z^2=1を満たしながら変わるとする。同値関係に十分注意しながらW=x^3+y^3+z^3の最大値、最小値を求めよ。」

という問題です。

よろしくお願いします。

あと、なぜか「実数x,yが」と、zを抜かしていますが、誤植なのかどうかがわかりません・・・。

回答No.4

noname#199771 · ベストアンサー

途中端折りますが解き方の流れを書くので
ご自分で答案を作ってみてください。

1番目と2番目の式から
x^2+2y^2-2y=0　・・・★
が得られます。

1番目と3番目の式から
W=x^3+y^3+(1-y)^3
となりますが、展開すると★を使ってWはxの
3次式になることがわかります。
W=f(x)と書きましょう。

2番目の式から|x|,|y|,|z|≦1であることと★から
0≦x^2≦1/2　・・・☆
が必要なことがわかります。
（yについての二次関数の最大最小）

実際xが☆を満たすどんな数であっても、
1～3番目の式を満たすy,zが存在するかどうか
調べます。手元の計算によると実際するわけ
ですが要証明。

というわけで、xが☆の範囲を動くときのW=f(x)
の増減を調べればよいです。

Wがxだけの式になるように問題をうまく作った
のでしょうね。受験問題にしか現れない都合の
良い問題のようです。

お礼

ありがとうございます！xについてWを変形していくと楽にできました！

回答No.3

shuu_01

y + z = 1 が x + y + z = 1 の脱字でないとして問題を

解こうとすると

z = 1-y でまず、z を消せます

x^2 + 2(y 1/2)^2 = 1/2 となり、

xy 座標では　(0, 1/2）を中心とした楕円となりませんか？

ここまでの計算で既に自信ない

楕円とすると、角度 θと置いて

x = cosθ/√2
y = (sinθ+1) / 2 で表せませんか？

ここも計算に自信ない

z = 1-y = (1 - sinθ）/2

で x^3 + y^3 + z^3 に代入すると、θの式になり、

(sinθ)^3、sinθ が消え、(sinθ)^2 は 1 - (cosθ)^2

なので cosθの式にまとめられ、

p = cosθとか置くと、p の３次元関数になり

-1 ≦ p ≦ 1 の範囲で、最大値を求めれば良いんじゃない？

でも、計算面倒臭くて解く気になれません

そもそも、脱字あるかもしれないし

補足

脱字はありませんでした。y + z = 1であっています

回答No.2

Tacosan

あれ? その判別式, 間違ってないか?

お礼

あ！初歩的なミスをしていました！判別式は1-4x^2/2でした・・・。

補足

詳しくご指摘いただけると助かります。

回答No.1

Willyt

ｚはｘ、ｙの関数ですからx,y が実数ならｚは実数と決まっているので言及する必要がないのです。

ｚ＝１－ｙ　なので、これを代入した式はx,y 平面上の楕円になります。これを図に描けばｙの最大値最小値を求めることができます。これにより、zの取れる範囲が定まります。その上で、ｗをｚだけの関数にしてこれを微分したものをゼロとおけば歳最大、最小値を算出できます。それが上記のｚの範囲内にあればこれが最大、最小値ですが、はみ出したときははみ出したｚの値を捨て、残ったｗの値とｚの境界値を与えたときのｗの値を比較して最大、最小値を決めます。

補足

・・・なるほど、方針はわかりましたが、うまく式変形ができません。0≦z≦１だということは分かりましたが、Wをzだけの関数似できません・・・。

ところで、じぶんはこのように考えたのですが、うまくいきませんでした。y+z=1かつx^2+y^2+z^2=1⇔y+z=1かつyz=x^2/2,
y,zはtの二次方程式(t-y)(t-z)=0の二つの実数解であり、実数解をもつから、判別式をDとすると、D=-4(x^2/2-1)≧0⇔√2≦x≦√2となり、Wをxだけの関数に表し、微分して増減表を書きましたが、答えの最大値１、最小値1/4+-√2/4となりません。回答者さんの方針とこの方針についてもう少し詳しくご教授お願いします。