4乗して実数になる複素数の問題(数学Ⅱ)

質問

aを実数として複素数z=a+iを考える。z^4が実数になるaの値とそのときのz^4の値は【a=0のとき1,a=-1,1のとき-4】である。

この問題でaの値は出せたのですが、何故aが1と-1のとき-4が出るのかが分かりません。

ちなみにこの問題の答えは【】の中の部分です。

回答宜しくお願いします

回答No.3

fukuda-h · ベストアンサー

虚部＝0から実部だけ取り出して代入すればいいでしょうね。まずは４乗してみることです
(a+i)^2=a^2-1+2ai
から(a+i)^4=(a^2-1+2ai)^2=(a^2-1)^2-4a^2+4a(a^2-1)i
これが実数だから虚部＝0から4a(a^2-1)＝0 よってa=0,1,-1
このときz^4=(a^2-1)^2-4a^2であるから
ここへ代入してa=0のとき1、a=1のとき-4,a=-1のとき-4

回答No.2

wildcat-yp

普通に（1+i)の４乗と(-1+i)の４乗を計算すればいいのでは？
なぜaを出せたのにこれが分からないのか、分かりません・・・

回答No.1

rnakamra

素直に4乗すればよいだけ。2乗を2回繰り返す。
(±1+i)^4={(±1+i)^2}^2
=(1±2i+i^2)^2
後はご自分で確認してください。