「2次関数が切り取るｘ軸の長さが2√6以下のとき・・」で判別式？

質問

「y=x^2+bx+2b-6（・・(1)）のグラフとｘ軸との交点をR,Sとしたとき、線分RSの長さが2√6以下になるのはbが○○のときである。」
という問題の答えではじめに、
「(1)のグラフがｘ軸と２点で交わるので、D=b^2-4・1・(2b-6)＞0　⇔　(b-4)^2 +8＞0　→常に2点で交わる」
としていたのですが、なぜこうするのかがわかりません。

まず、「ｘ軸と２点で交わるので」としていますが、（グラフが接して）RSが0になる可能性はないのでしょうか。
さらに、「２点で交わるので～常に２点で交わる」とは同じことの繰り返しではないのでしょうか。

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

＃３です。
　補足とお礼を拝見しました。

＞1段落目は高度で僕にはわかりにくいです。

　２次関数y=ax^2+bx+cとｘ軸との交点は、判別式をＤとすると、解の公式から、
　　ｘ＝(-b±√D)/(2a)　　ただし、D＝b^2-4ac
と表せます。
　この解をx1、x2として、次のように置きます。
　　x1＝(-b＋√D)/(2a)、　x2＝(-b－√D)/(2a)
　このとき、この２解の間の距離は、
　　|x1-x2|　　（｜｜は絶対値記号）
　＝|(-b＋√D)－(-b－√D)|/|2a|
　＝√D/|a|
となることから来ています。

＞「「何を確認するのでしょうか。」ではなく、「なぜ確認するのでしょうか」の間違いでした。今回のように2√6以下でしたら、0も含めて2√6以下なのだから２点だろうが１点だろうが関係ないと思いますし、もしRS＝2√6だったとしたら、グラフから2点で交わることはわかりますよね。

　ｘ軸との交点ＲとＳが同じ点であることも許されるのであれば、質問者さんのように考えられてもよいかと思います。
　ですが、この問題の場合、交点として２点を設定していることや、線分ＲＳを問題にしていることから、ＲとＳが同じ点になることは除外していると読み取れます。
　線分の概念を拡張して、長さ０の線分というのも考えられなくはありませんが、通常は、線分には両端があるものとして考えますので、この問題では、長さは正であるとしたほうがよいように思います。

お礼

線分には両端があるものとして考えるのですね。ここの知識が抜けていました。貴重な時間をありがとうございました。

回答No.4

Quattro99

#2です。
見間違えていました。

前半部分については#2のとおり、問題文から異なる2点で交わるという条件があるものと考えて「ｘ軸と２点で交わるので」としているのだと思います。

後半は、この問題では判別式を計算してみたら(b-4)^2 +8となり、これは常に正なので、この問題の方程式のグラフは「常に2点で交わる」としているのだと思います。つまり、同じことを言ったのではなく、「2点で交わるという条件からbの範囲を限定しようとしたが、bがいくつの時であっても常に2点で交わるのでこの条件からはbの範囲は限定されなかった」と言っているのだと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
＞交点をR、Sとしたときとあるので、RとSは同じ点ではない＝異なる2点で交わる＝接する場合は除くと考えてよいということだと思います。
言い忘れましたが、これはセンター試験（数I・A追試）の問題で、しかも、直前の問題で「２点P,Qで交わり・・」となっていて、直後のこの問題は「交点をR,Sとし・・」となっていたので区別しているのではないか、という気がします。

補足

5の方の回答からわかったのですが、線分には両端があるものとして考えるのですね。この知識が抜けていたのでQuattro99さんの「＞交点をR、Sとしたときとあるので、RとSは同じ点ではない＝異なる2点で交わる＝接する場合は除くと考えてよいということだと思います。
」という意味がよくわからなかったのですね。すみませんでした。

回答No.3

Mr_Holland

２次関数y=ax^2+bx+cとｘ軸との交点間の距離は、判別式をＤとすると
　　√Ｄ／|ａ|
で表されますから、この距離が正である限り、判別式は正でなければなりませんから、質問者さんの疑問はもっともだと思います。

　最初に判別式で確認していたのは、２点で交わるときは、最初に判別式で確認しなさい、ということを習慣付けさせるための教育的配慮によるものだと思われます。
　無論、質問者さんがそのことを理解したうえで、判別式の判定をする必要がないと考えたのであれば、それでよいと思います。

　なお、今回のケースでは、線分の長さが2√6以下と書いてありますので、距離が必ずしも正であることは保証されていません。
　場合によっては０になることもあります。（この問題の２次関数では、たまたま正にしかなりませんでしたが。）
　そのため、一般的な解き方としては、次の２つの条件が必要になります。
　　√Ｄ／|ａ|＜2√6　かつ　Ｄ＞０

お礼

回答ありがとうございます。
1段落目は高度で僕にはわかりにくいです。Mr_Hollandさんが多忙でしたら他の方でも、噛み砕いてくれると助かります。
「最初に判別式で確認していたのは、２点で交わるときは、最初に判別式で確認しなさい、ということを習慣付けさせるための教育的配慮によるものだと思われます。」
とありますが、何を確認するのでしょうか。

補足

回答へのお礼への続き（もともとこっちに書くべきだったのですが...）
「何を確認するのでしょうか。」ではなく、「なぜ確認するのでしょうか」の間違いでした。今回のように2√6以下でしたら、0も含めて2√6以下なのだから２点だろうが１点だろうが関係ないと思いますし、もしRS＝2√6だったとしたら、グラフから2点で交わることはわかりますよね。

回答No.2

Quattro99

交点をR、Sとしたときとあるので、RとSは同じ点ではない＝異なる2点で交わる＝接する場合は除くと考えてよいということだと思います。

x軸と2点で交わるという条件から(b-4)^2 +8＞0を導いたのですから、(b-4)^2 +8＞0のとき2点で交わるのというのは当たり前で、おっしゃるとおり同じことの繰り返しです。特に書く必要のないことを念押ししているだけと思います。

回答No.1

banakona

うーん・・・論理の流れが乱れているような・・・

設問は、「線分RSの長さが2√6以下になる」条件を求めたいのですから、「（グラフが接して）RSが0になる」のは困るのです。
だから判別式Ｄ＝０ではなくＤ＞０である必要があります。

そう思って、「Ｄ＞０を満たすｂの条件を調べてみたら、ｂの値に関わらずＤ＞０であることが分かった」というのが

＞「２点で交わるので～常に２点で交わる」

です。正確に言うと「ｂが実数である限りＤ＞０。だから常に２点で交わる」となります。

あとは、単純にｘ軸との交点を調べて「線分RSの長さが2√6以下になる条件」を求めるだけです。もし、

＞常に2点で交わる

でなければ、これに「2点で交わる」ための条件も追加する必要があります。
本問の場合は『「常に2点で交わる」ので、この条件は不要』ということです。

お礼

すばやい回答ありがとうございました。ちゃんと書いておけばよかったですね。上に書いた問題は要約ではなく完全なものでこれがすべてです。なのでその回答に「２点で交わるので」と書いてあり？？？と思ったのです。