単振動

質問

(a)つりあいの位置から、バネを長さx₀だけ引き伸ばして静かに話したとき。
(b)つりあいの位置で、質点をはじいて初速度v₀を与えたとき。
上の(a),(b)の場合について、動き出した質点の位置の時間変化を与える式を導け。

という問題です。
物理を始めたばかりなので、困っています。
よろしければ、回答をお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

単振動の質点の変位と速度が
　　x(t)＝A・sin(ωt+θ0)　　・・・・（A)
　　　ただし、釣り合いの位置を原点とする。
　　v(t)＝Aω・cos(ωt+θ0)　　・・・・（B)
の形で表されることは習っていますか?

　2つの問題は、このx(t)とv(t)の式を使えば求められます。

(a)　ばねを伸ばした長さをx0とすると、
　　x(0)＝A・sin(θ0)＝x0　　　・・・・(1)
　　v(0)＝Aω・cos(θ0)＝0　　・・・・(2)
となるので、式(2)から
　　cos(θ0)＝0　　（∵A,ω＞0）
　∴θ0＝±π/2
となり、この値を式(1)に代入して、
　　A・sin(±π/2)＝x0
　∴A＝±x0　　（符号はx0>0のとき正(θ0=π/2)、x0<0のとき負(θ0=-π/2)。）
　　　＝|x0|　　（｜｜は絶対値記号。）
となり、Aとθ0が求められる。
　これらの値をx(t)の式（A)に代入して、問題(a)の答えを次のように得ます。
　　x(t)＝±x0・sin(ωt±π/2)　　（複号同順)
　　　　＝x0・cos(ωt)
　ここで、ωは未知数のままですが、もし、バネ定数とバネに繋がれた質点の質量がそれぞれｋ、ｍと分かっている場合は、
　　ω＝√(k/m)
になりますので、求める位置の式は、
　　x(t)＝x0・cos{t√(k/m)}
と求められます。

(b)　釣り合いの位置での初速をv0としますと、条件を位置と速度の式（A)と式（B)に代入して、
　　x(0)＝A・sin(θ0)＝0　　　・・・・(3)
　　v(0)＝Aω・cos(θ0)＝v0　　・・・・(4)
となります。
　ここで、式(3)から
　　A・sin(θ0)＝0
　∴θ0＝0,π　（∵A＞0)
となり、この結果を式(4)に代入しますと、
　　±Aω＝v0　　（符号はθ0=0のとき正、θ0=πのとき負。）
　∴A＝±v0/ω　（符号はv0>0のとき正(θ0=0)、v0<0のとき負(θ0=π)。）
　　　＝|v0|/ω　（｜｜は絶対値記号。）
となります。
　したがって、これらの結果を式（A)に入れますと、
　　x(t)＝＋v0/ω・sin(ωt+0)　または　－v0/ω・sin(ωt+π)
　　　　＝v0/ω・sin(ωt)　または　－v0/ω・{-sin(ωt)}
　　　　＝v0/ω・sin(ωt)
と求められます。
　また、(a)と同様に、ωが√(k/m)と求められている場合は、
　　x(t)＝v0√(m/k)・sin(t√(k/m))
と書き換えられます。

　なお、単振動の詳細については、下記サイトを参照してください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E6%8C%AF%E5%8B%95#.E5.8D.98.E6.8C.AF.E5.8B.95

　また、これらの手順は、慣れれば、(a)と(b)の位相θ0がすぐ分かりますので、もっと簡単に行うことができます。

お礼

回答有難うございます。
丁寧に教えていただき、とても助かりました！

ありがとうございました。