単振動のこの問題がどうしても分からないです。

質問

図に示すように、質量ｍの質点が、半径ｒの円周上を一定の速さｖで運動している。いま、時刻ｔ＝0において、質点がｘ軸上を出発したとして、次の問いに答えよ。
１．任意の時刻ｔにおける質点の座標ｘ（ｔ）とｙ（ｔ）を、半径ｒと角速度ωを用いて表せ。
２．Ｖｘ（ｔ）とＶｙ（ｔ）をｒとωを用いて表せ。
３．加速度Ａｘ（ｔ）とＡｙ（ｔ）をｒとωを用いて表せ。
４．動径ｒと速度ｖ、速度ｖと加速度Ａは互いに直行することを示せ。
５．速さと加速度の大きさを、ｒとωを用いて表せ。
という問題が先生から課題として出されました。
参考書を見ながらやっているんですが、全然わからないため質問しました。
答えにいたるてまでの計算式等と答えを教えてください。

回答No.1

sanori

こんばんは。

１．
反時計周りで、出発時の座標が（１，０）
この場合の式は、超基本です。
ｘ　＝　ｒ・cos（ωｔ）
ｙ　＝　ｒ・sin（ωｔ）

２．
速度を求めるには、距離を時刻で微分すればよいのです。
Ｖｘ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ｄ／ｄｔ　ｒ・cos（ωｔ）
　＝　－ｒω・sin（ωｔ）
Ｖｙ　＝　ｄｙ／ｄｔ　＝　ｄ／ｄｔ　ｒ・sin（ωｔ）
　＝　ｒω・cos（ωｔ）

３．
加速度を求めるには、速度を時刻で微分すればよいのです。
Ａx　＝　ｄＶx／ｄｔ　＝　ｄ／ｄｔ　－ｒω・sin（ωｔ）
　＝　－ｒω^2・cos（ωｔ）
Ａy　＝　ｄＶy／ｄｔ　＝　ｄ／ｄｔ　ｒω・cos（ωｔ）
　＝　－ｒω^2・sin（ωｔ）

４．
直行ではなく、直交では？
直交しているかどうかは、ベクトルの内積がゼロであることを示せばよいです。
ベクトルｒ→　を成分表示すると
ｒ→　＝　（ｘ、ｙ）　＝　（ｒ・cos（ωｔ），　ｒ・sin（ωｔ））
ベクトルＶ→　を成分表示すると、
Ｖ→　＝　（Ｖx、Ｖy）　＝　（－ｒω・sin（ωｔ）、　ｒω・cos（ωｔ））
ベクトルＡ→　を成分表示すると、
Ａ→　＝　（Ａx、Ａy）　＝　（－ｒω^2・cos（ωｔ）、　－ｒω^2・sin（ωｔ））

ｒ→　と　Ｖ→　の内積は、
ｒ→・Ｖ→　＝　ｘＶx　＋　ｙＶy
Ｖ→　と　Ａ→　の内積は、
Ｖ→・Ａ→　＝　ＶxＡx　＋　ＶyＡy
それぞれ、ゼロになることを確かめてください。

５．
速さは、｜Ｖ→｜　＝　√（Ｖx^2　＋　Ｖy^2）
加速度の大きさは、｜Ａ→｜　＝　√（Ａx^2　＋　Ａy^2）
あとは、計算のみです。

１～３は、非常に重要かつ基本的ですので、暗記するぐらいにしてください。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

ありがとうございます！！本当にありがとうございました。