物理のバネの単振動です。

質問

物理の質問です！
できなかったので解説してくれると助かります(;_;)

軽いつる巻ばねの一端に天井に取り付け、他端に質量ｍの小球を取り付けたところ、ばねは自然長の長さからLだけ伸びてつりあった。
さらに、小球をつりあいの位置から下方にAだけ引き下げて静かに手しを放したところ、小球の運動は単振動となった。手を放した瞬間を時間ｔの原点とする。重力による位置エネルギーおよびばねの弾性力による位置エネルギーの基準をつりあいの位置に取ることにすれば、運動している小球がつりあいの位置より下方にあるとき、

（１）小球の重力による位置エネルギーは重力加速度の大きさｇとして表わせ
（２）その時のっバネの弾性力による位置エネルギーと小球の運動エネルギーをそれぞれ表わせ
（３）（１）と（２）の和がこのバネ振り子の力学的エネルギーでありｘとなって一定に保たれる。ｘはなにか？

よろしくお願いします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

出題者が勘違いをしているか、あるいは意地悪か、嫌な予感がする問題ですね・・・・
具体的に何がどうわからないのでしょう？できるところまで書いてください。

補足

問題文がすこし違いましたm(_ _)m
物理の穴埋め問題が解けません 回答お願いします
軽いつる巻きばねの一端を天井に取り付け、他端に質量mの小球を取り付けたところ、ばねは自然の長さからLだけのびてつりあった。さらに小球をつりあいの位置から下方にAだけ引き下げて静かに手を離したところ、小球の運動は単振動となった。手を離した瞬間の時間をtの原点とする。重力による位置エネルギーおよびばねの弾性力による位置エネルギーの基準をつりあいの位置に取ることにすれば、運動している小球がつりあいの位置より下方にあるとき、小球の重力による位置エネルギーは重力加速度の大きさをgとして( 1 )と表される。また、その時の弾性力による位置エネルギーと小球の運動エネルギーはそれぞれ( 2 )と表される。( 1 )と( 2 )の和はこのばね振り子の力学的エネルギーであり、( 3 )となって一定に保たれる

私は
（１）自然長での力のつりあいは、F＝ｍｇーｋL＝０となってｍｇ＝ｋLとなる。
問題文にAだけ引き下げたとあるのでF＝ｍｇー（L+ｋ）＝ーｋAとなる。
最後は位置エネルギーの公式を使うのだと思うのですができませんでした（泣）
（２）すみません…よくわかりませんでした
（３）（１）と（２）をたす

と考えました。どういうふうに解いたらいいのかわからないのでよろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi

まず、穴埋め問題なら問題が不備ですね。
穴埋めでは小球の位置が問題で指定されていないと答えようがありません。
記述式ならば、解答の冒頭で小球の位置を定義しておく必要があります。
ここではつり合いの位置を原点として鉛直下向きにx軸をとり、小球の位置をxとします。

(1)の解答の前提が

＞運動している小球がつりあいの位置より下方にあるとき、

なので、小球はつり合いの位置でも手を放した位置でもなく、その間のどこかにいます。
そこでこの小球の位置を上述の通りxとすれば、位置がxだけ下がると位置エネルギーは減少するので

(1) -mgx

この問題文ではxが与えられていないので、穴埋めなら解答不能です。

(2)はバネの位置エネルギーと運動エネルギーの二つを要求しているのに穴が(2)の一つしかないというのがそもそも不審ですが・・・・

このときバネの伸びはL+xになっていて、つり合いの位置(Lだけ伸びた位置)が弾性エネルギーの基準という事なので、

バネの位置エネルギー (1/2)k(L+x)^2 - (1/2)kL^2 = kLx + (1/2)kx^2

このときの小球の速度をvとすると

運動エネルギー (1/2)mv^2

ここのvを求めるには、高校物理の範囲ではエネルギー保存則から求めるしかありませんが、
エネルギー保存則はあとの(3)で使う流れになっていますから、ここでエネルギー保存則を使ってしまうのは適当ではありません。すると求めようがないので、これ以上書くことはできません。

ここに出てきた位置xも速度vも問題文で与えられていないので、穴埋めでは解答不能です。

(3)は力学的エネルギーを使います。力学的エネルギーが保存しているので、力学的エネルギーEは時刻0、つまりバネがL+A伸びた状態で小球が静止している時(つまり運動エネルギーが0のとき)の位置エネルギーに等しいので

E = kLA + (1/2)kA^2 - mgA

ここでつり合いの条件からkL=mgが成り立つので第1項と第3項が相殺して

E = (1/2)kA^2

これを先に求めておけば、(2)(3)をあわせて力学的エネルギー保存則

E = (1/2)mv^2 + kLx + (1/2)kx^2 - mgx = (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 = (1/2)kA^2

から(2)の運動エネルギーは

(1/2)mv^2 = (1/2)k(A^2 - x^2)

と求めることができるので、設問の(2)と(3)の位置が入れ代わっていれば(2)の運動エネルギーはこう答えることができます。ただ、くりかえしになりますがxが与えられていないのでこれでも穴埋めでは解答不能です。

大学以上の物理なら運動方程式とこの初期条件から

x(t) = A cos(√[k/m] t)
v(t) = -A√[k/m] sin(√[k/m] t)

が即座に求められるので、上のx, vにこれを代入すれば解答可能です。
が・・・・雰囲気的にそこまで求めている問題のようにはみえないですね。

お礼

私も距離が書いてなくてわからなくなりました…
ご指摘ありがとうございますm(_ _)m
大学以上の物理というのはまだ知らないので参考になりました！
ありがとうございます。