バネの鉛直における単振動

質問

鉛直につるしたバネの単振動において、つりあいの位置からの変位とすれば重力を考えずにすむことはよく知られていますが、自然長から考えてつりあいの位置に行くまでの物体の変位を時間tを使った形で知りたい場合はどう考えればよいのでしょうか。m*(d^2x/dt^2)=m*g-k*xの式をxについて解き、tで表すことができません。数学の問題なのかも知れませんが、お答え頂ければ幸いです。

回答No.3

cocksan · ベストアンサー

自然長lのばねを天井からつるして質量mの
重りを他端に固定したとする。
ここで、つりあいの位置を原点に下向きにx軸を取る。

重りの受ける重力：mg
重りの受けるばねの弾性力：-kx

よって、このときの運動方程式は
m(d-2x/dt^2)=mg-kx

このままでは解くのがめんどくさいので
d^2x/dt^2=-k/m(x-mg/k)
と変形して
u=x-mg/k・・・・・・（※）
とおきます。

このとき、明らかに
d^2u/dt^2=d^2x/dt^2
だから
運動方程式は
d^2u/dt^2=-(k/m)u

よって、ω=√(k/m)、A,φ任意として
u=A*sin(ωt+φ)
と解けます。

ここで(※）より
x=A*sin(ωt+φ)+mg/k
これが、自然長からの距離について解いたときの解です。

もう気づいたと思いますが、
uは平衡点からの変位を表しています。
これは、(※)でu=0とすると、
0=x-mg/k　→　kx=mg
ばねの弾性力と重力のつりあっている点。
すなわち、平衡点(つりあいの位置)というあたりからも
理解できると思います。

結局、自然の長さからの変位が見たい場合は、
つりあいの位置での変位に自然の長さからつりあいの
位置までの変位を加えれば良いという事です。

#1さんが言ってるのは(※)の部分、
#2さんが言ってるのは最終形で初期条件を使って
Aやφを決定した場合ですね。
（sin(θ+π)=cosθとかを使えばsin→cosになる。）

お礼

とてもご丁寧な解説ありがとうございます。＃２さんの回答を見た時点で、自分でも答えが分かったのですが、＃３さんの丁寧な解説でさらに納得することができました。回答してくださったrynさん、abyssinianさん、そしてcocksanさん本当にどうもありがとうございました。

回答No.2

abyssinian

自然長と釣合い長の差をAとすれば、バネがA伸びてmgと釣り合うから、kA=mg、A=gm/k
重りをそっと離せば（初期速度=0）、振動はこのAを初期値としたコサインカーブ。
速度は変位の時間微分です。

回答No.1

ryn

変数を
　ξ = x - mg/k
と変換すれば，つりあいの位置からの変位の場合に帰着できます．