単振動の応用問題。

質問

ばねを地面に対して垂直に固定し、そのばねの先端に板をのせ釣り合いを保たせる。この板に対して、上から小球を落とすと、当然単振動の動きをします。が、小球は最下点に到達した後、また垂直上向きに運動し、ある時点になると板を離れ空中にとびます。

これはつりあいの位置でしょうが、それはばねの自然長なんでしょうか、それともばねにいたを載せたときのつりあいの位置なんでしょうか？またその理由を教えてください。

回答No.4

ht1914 · ベストアンサー

＃１の方が衝突を問題にしておられます。

＞この板に対して、上から小球を落とすと、当然単振動の動きをします。

この表現に不備があるように思います。落とせば衝突が問題になります。くっついて一緒に行くためには反発係数が０でないといけません。０であれば離れません。落下させる高さも問題になります。

表現を変えてみました。
バネの先端に板を乗せて固定する。板の上に別の物体を載せる。物体の乗った板を持ち上げて静かに手を離す。物体と板は最下点まで行ってから上昇する。物体が板から離れる高さを求めよ。また離れるという現象が起こるための条件も求めよ。

＃３の方の考察はこの場合のものです。

離れるのが自然長であるとすると最初に自然長よりも高いところから落下させないと駄目だということになります。自然長よりもはじめの高さが低い場合、質量がＭ＋ｍの物体の付いたバネの振動になります。

＃３の解答の中に書かれている式を使って違う考察をしてみます。

小球・・・ma = -mg + F
板　・・・Ma = -ky -Mg -F

Ｆを消去します。
（Ｍ＋ｍ）ａ＝－ｋｙ－（Ｍ＋ｍ）ｇ
ｙ＝０（自然長）の時にａ＝ｇになります。ｙ＞０（自然長よりも上）になるとａ＜ｇです。
物体は板に固定されていません。板から離れた場合、物体に働く加速度は下向きにｇです。物体はｇよりも下向きに大きい加速度では運動できません。板の方が減速がきついので物体は置いてけぼりになるというイメージですね。物体が離れた後の板だけの運動の加速度はＭａ＝－ｋｙ－Ｍｇから求められます。質量がＭ＋ｍからＭに変わりますがａ＜ｇであることは同じです。
自然長の所まで一緒に行きます。その後、物体は重力の加速度ｇで運動する、板は加速度ａ＝－ｇ－ｋｙ／Ｍ　で運動するということになります。

お礼

そうですね、適切な指摘ありがとうございます。

板の単振動まで、すぐに求まるのでとても参考になりました。

ありがとうございます。

回答No.3

oyamala

おそらくこれは自然長だと思われます。
ある程度厳密に示してみましょう。

まず小球は板に乗って、板は縮み、縮むところまで縮むと今度は伸び始めます。
今伸び始めたときのことを考えましょう。

まずばね定数をk、小球の質量をm、板の質量をM　とおき、重力加速度をｇ、小球と板が及ぼしあう力の大きさをFとします。

ここで今小球と板はくっついて動いているわけですから、
小球が板に乗っている間は加速度が等しいと考えて問題ありません。
ここでこの加速度をaとしましょう。

ばねが自然長（つりあいの位置ではない）のとき、そのばねの先端の位置を原点Oとし、鉛直上向きにｙ軸をとります。

このとき、それぞれの運動方程式は

小球・・・ma = -mg + F
板　・・・Ma = -ky -Mg -F

となります。この二つの式から加速度aを消去してFについて解くと
F=　-｛km/(M+m)｝y　　多分こんな式が出てきます。
この式が言っていることは、ｙが負、つまりばねが縮んでいるときには、
小球と板が押し合っているということです。
しかしy=0、つまり自然長のときは小球と板が及ぼしあう力がなくなる、よってここで二つの物体は離れてしまうのです。

仮にyが正のときにも離れてないとすると、Fが負の値になり、
それぞれの物体がなぞの力で引っ張り合っていることになりますよね、でもそんなことは有り得ません。

ですから、多分答えは自然長です。

お礼

そうですね、じつは自分でもこれに気づいたんですが、全く同じ考え方です。

ちなみに、、、

このような別解も考えました。

上式、板において、Ｆ＝０となるｙ座標をダイレクトに考える。
（これは厳密には間違いですが、限りなく人間の直感的イメージに呼応する点において、それなりの価値を有すると思っています。）

いきなりですが、上式に

Ｆ＝０、ｙ＝自然長、a＝－ｇを代入すると、等号成立します。

ゆえに、ｙ＝自然長といえる。

～一応、補足～
いわずもがなですが、ｙ＝自然長のとき、板に働く外力は鉛直下方向きに働く重力のみです。。。

ご丁寧な解答ありがとうございます！

回答No.2

tdpixy

エネルギーが保存するなら、ばねにいたを載せたときのつりあいの位置でしょう。エネルギー保存則で考えれば分かると思います。

回答No.1

shaki_shaki

> この板に対して、上から小球を落とすと、当然単振動の動きをします。
板は単振動の動きをします。
>が、小球は最下点に到達した後、また垂直上向きに運動し、
小球と板との反発係数が０でなければ、板が最下点に達するときには、小球はすでに板から離れているように思うのですが？
（小球が板から離れても、板は更に下向きに動くのではないでしょうか？）

もう少し、いろいろな条件をおしえていただけませんか。

補足

それはたしかにありえますが、じつはこの問題は金沢大学０２年の力学の問題をアレンジしたもので、それを考慮すると、shaki_shakiさんの考え方は排除されることがわかります。