線形代数、余因子行列について

質問

連投になっていたらすみません。
線形代数の余因子行列についての基本公式

|A~|= |A|^(n-1) の証明について質問です。（Aはn次、A~は余因子行列）
Aが正則のときはAA~=|A|E よりただちに導けるのですが、|A|=0のときにどう証明したらよいか分かりません。つまり|A|=0のときに|A~|=0を示したいのです。

一応私が本で見つけた証明では「(1) A~A=0 ⇛　これはA~のn個の列が一次従属であることを示している」とあります。なぜ一次従属になるかが分かりません・・・。
また、別の本では「Aの対角成分をa_ii + t　に置き換えた行列を考える。代数学の基本定理より|A(t)|=0になるtの値は高々n個である。その値をとらないで0に収束する点列 {t_k}をとってくると、|A~(t_k)|=|A(t_k)|^(n-1)
ここでk→∞とすれば|A~|=|A|^(n-1) 」とありますが、これは|A|=０のときの証明になってるように思えないのですが、解説お願いします。

回答No.4

reiman · ベストアンサー

書き間違い有り
行ベクトル→列ベクトル

>一応私が本で見つけた証明では「(1) (A~)*A=0 ⇛　これはA~のn個の列が一次従属であることを示している」

A=0ならば明らかにA~=0だからいうまでもない
A≠0ならばAの中に少なくとも1つは0でない列が存在する
その列ベクトルをvとすると
(A~)*A=0
だから
(A~)*v=0
これはA~の列ベクトルが一次従属であることを意味する

お礼

ありがとうございます。腑に落ちました。

回答No.3

reiman

>一応私が本で見つけた証明では「(1) (A~)*A=0 ⇛　これはA~のn個の列が一次従属であることを示している」

A=0ならば明らかにA~=0だからいうまでもない
A≠0ならばAの中に少なくとも1つは0でない列が存在する
その行ベクトルをvとすると
(A~)*A=0
だから
(A~)*v=0
これはA~の列ベクトルが一次従属であることを意味する

回答No.2

hugen

|A| , |A~|　を　aij(i,j=1,2,3,・・・)　の多項式と見ると
|A|=a11・・ann+・・・≠0 ( 多項式として)　だから
|A||A~|＝|A|^n.　　( 多項式として) より
|A~|＝|A|^(n-1).　　( 多項式として)

お礼

ありがとうございます。この多項式として、というくだりは見たことがあるのですが、いまいち納得できませんでした。改めて考えてみることにします。ご回答感謝致します

回答No.1

Tacosan

定義に従って余因子行列を計算すると, |A| = 0 のときには少なくともどこか 2つの行 (または列) が比例関係にあることがわかります. なので |A~| = 0.

お礼

ご回答ありがとうございます。時間をおいて改めて考えてみると納得できました。今回はBAにできずに申し訳ありません。