行列の指数関数

質問

行列A=
(3 1)
(0 3)

について、e^(tA)を計算せよ。
という問題です。f(x)=e^(tA)のマクローリン級数を使うのは分かるのですが……それまでの過程が分かりません。
どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします！

回答No.2

F_P_E · ベストアンサー

はじめまして．

まず，e^(tA)の定義を調べるべきです．話はそれからです．

あとは，A^nを帰納的に求めて，e^(tA)を計算すればよいのです．

e^(tA)の定義のこと以外で，わからないことがありましたら，精一杯お答えさせて頂きたいと思っております．

補足

回答ありがとうございます。
早速分からないところがあったので、質問させていただきます。
A^nというのは、具体的にどうやったら求められるのでしょうか？
そして、e^(tA)をA^nからどうやって計算すればいいのか分かりません。
分からないことだらけですみません。
よろしければ、回答してくださると、とてもありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.8

kabaokaba

思考停止しないで考えましょう．
Eは単位行列，
N=
0 1
0 0
とすれば，A=3E+Nだし，N^2=0
Nはベキ零と呼ばれる行列の一種です．

二項定理を使わなくても
1行2列の成分も，漸化式を立てるなりすれば
計算は簡単ですし・・そうしなくても
素因数分解してみるとかいろいろ推測の手はあります．

お礼

回答ありがとうございます。

「A=3E+N,N^2=0」の意味が分かりました。分かりやすい説明、ありがとうございます。

色々な推測の仕方があるんですね。これから、自分でやってみようと思います。
おかげで少しずつ分かってきた気がします。ご指導ありがとうございました！

回答No.7

guuman

A^1:
[3^1 3^0]
[0 3^1]

A^2:
[3^2 3^1+3^1]
[0 3^2]

A^3:
[3^3 3^2+3^2+3^2]
[0 3^3]

A^4:
[3^4 3^3+3^3+3^3+3^3]
[0 3^4]

A^5:
[3^5 3^4+3^4+3^4+3^4+3^4]
[0 3^5]

お礼

今まで回答して下さり、ありがとうございます。
おかげ様で、無事解決できました。
本当にありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
とても分かりやすく書いてもらえて嬉しいです。
おそらく、1行2列というのは、Σ3^(k-1)というように思えるのですが…。(k=1,2…）
どうでしょうか？

回答No.6

F_P_E

＃２です。

e^(tA)の定義は分かったのでしょうか．ちゃんと調べてくれたことを信じたいですね．

さて，A^nは”帰納的”に求めていけば，わかるはずなんですが．．．要は，A^2を計算して，A^3を計算して，A^4を計算して，…っていうことを繰り返すとどこかで法則性を見つければよく，見つけてA^nを推測すればよし．ホントは証明もするべきだけど，簡単だから必要ないでしょう．

A^nが分かれば，あとは”e^(tA)の定義”に入れて，ちょこまか計算すれば，あっという間に答えがでてきちゃうさ．

がんばってくださいね．

お礼

今まで回答して下さり、ありがとうございます。
おかげ様で、無事解決できました。
本当にありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
e^(tA)の定義は調べてみました。完璧とは言えませんが、一応、理解はできたような気がします。

今回のA^nの規則性なのですが、1行2列の規則性が推測できないですよね？だから、違うやり方をする、ということなのでしょうか。

回答No.5

guuman

A^n
を求めるときに式の形を崩さないようにしてやれば
各成分の一般系を求めることができる
問題は1行2列が求まればいいのである
他は自明
以上のようにして
A^n
の4成分を補足に書け
既に出してしまっている人もいるようだが自分で出すように

補足

回答ありがとうございます。

私も初めは規則性を見つけてA^nを推測するやり方をしていたのですが、やはり問題は1行2列ですよね。ここの規則性が分からないため、この問題は違うやり方をするのでしょうか？
よければ、回答して頂けたら助かります。
よろしくお願いします。

回答No.4

kabaokaba

行列A=
(3 1)
(0 3)

最初から A = 3E + N，N^2=0 だから，
二項定理ですぐに A^n は分かります．
A^n =3^n E + n 3^{n-1} N かな
大学受験にもよく出るタイプの行列です．
あとはこれを e^{tA} の展開（というか定義）にいれるだけ．

お礼

回答ありがとうございます。
あの、更に質問なのですが、「A=3E+N,N^2=0」というのは、どこから出たんでしょうか？
よければ、回答お願いします。

回答No.3

Suue

Ａ^ｎ（ｎは自然数）の求め方はわかるでしょうか。わからなければ次のようにしてください。

ケーリー・ハミルトンの公式から、
A^2－(trＡ)Ａ＋(detＡ)Ｉ＝０　です。　（Ｉは単位行列）
そして、ｘ^nを固有方程式で割った余りを求めますが、この場合は重解になっているので、微分を使って余りを求めてください。

ｘ^nを固有方程式で割った余りをｐｘ＋ｑ（ｐ、ｑは定数）とすると、
Ａ＾ｎ＝ｐＡ＋ｑＩ　になります。

あとは、マクローリン展開によるexp(ｘ)の定義式に代入し、成分ごとにまとめてください。

お礼

今まで回答して下さり、ありがとうございます。
おかげ様で、無事解決できました。
本当にありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
回答で、分からない所があったのですが、固有方程式とは何でしょうか？無知ですみません。
よければ、教えていただきたいのですが。よろしくお願いします。

回答No.1

guuman

A
A^2
A^3
A^4
を補足に並べてきれいに書け

補足

回答ありがとうございます。
A=(3 1)
(0 3)
A^2=(9 6)
(0 9)
A^3=(27 27)
(0 27)
A^4=(81 108)
(0 81)
ということでしょうか？