指数行列に関する問題の回答願います。

質問

指数行列に関する問題の回答願います。
A=０ -θ
　 θ ０
に対して、指数行列 e^A=E+A+(1/2!)A^2+…+(1/n!)A^n+…を求めよ。(但し、Eは2次の単位行列)
できるだけ詳しく教えていただけると助かります。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

ちゃうやん。訂正：
e^A = E + A + (1/2!)A^2 + (1/3!)A^3 + … + (1/(2k)!)A^(2k) + (1/(2k+1)!)A^(2k+1) + …
= E + A + (1/2!)(-θ^2)E + (1/3!)(-θ^2)A + … + (1/(2k)!)((-θ^2)^k)E + (1/(2k+1)!)((-θ^2)^k)A + …
= { 1 + (1/2!)(-θ^2) + (1/(2k)!)(-θ^2)^k + … }E + { 1 + (1/3!)(-θ^2) + (1/(2k+1)!)(-θ^2)^k + … }A
= { 1 - (1/2!)θ^2 + (1/4!)θ^4 - … }E + { (θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - …)/θ }A
= (cos θ)E + { (sin θ)/θ }A

お礼

ありがとうございます。
すごく助かりました。

回答No.2

alice_44

A^2 = (-θ^2)E を使って整理すると、
e^A = E + A + (1/2!)A^2 + (1/3!)A^3 + … + (1/(2k)!)A^(2k) + (1/(2k+1)!)A^(2k+1) + …
= E + A + (-θ^2)E + (-θ^2)A + … + ((-θ^2)^k)E + ((-θ^2)^k)A + …
= { 1 + (-θ^2) + … + (-θ^2)^k + … }(E + A)
= { 1/(1 + θ^2) }(E + A).

右辺の収束条件に注意する必要があるけど。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

指数行列の定義どおりに求めればいいと思います。
となると、A^2、A^3、A^4、・・・を求めないといけませんね。

もう少し突き詰めると、A＝θ((0, -1),(1, 0))ですから、行列((0, -1),(1, 0))の累乗を計算する。
（推測し、その推測が正しいことを示す）
ということになります。

お礼

ありがとうございます。　
やってみます。