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行列の問題です。
ωを実数、iを虚数単位、行列Aを A＝| ０ iω| |-iω 0 | とする。 １）適当なユニタ行列Uをもちいて、 A＝U｜λ1 0｜Uｔ ｜0 λ2｜ の形に表せ。ここでλ1とλ2はAの固有値、Utは行列Uの随伴行列を表し、行列Uがユニタリであるとは、U＾-1(逆行列)＝Uｔであることをいう。 2)一般に正方行列Xの指数関数e^Xは無限級数 e＾X＝E+X＋(１/2!)X^2+・・・+(1/n!)X^n+・・・ で定義される。 ここでEは単位行列を表す。 １）の結果を利用して、行列e^iAs（sは任意の実数）を求めよ。 以上です。 よろしくお願いします。
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A の固有ベクトルを求めたなら、それぞれの長さで割って、 長さ 1 の固有ベクトルを求めます。それらを列ベクトルとして並べて 行列を作り、U と名づけましょう。積 (Uの逆行列)AU を計算してみると、 計算間違いがなければ、対角行列になります。それを L と名づけると、 A = UL(Uの逆行列) と書けます。以上が、行列の対角化です。 L の対角成分には、A の固有値が並びます。 必ず自分で計算して確認すること。 A = UL(Uの逆行列) と変形できれば、Aのn乗 = U(Lのn乗)(Uの逆行列) です。 指数関数の級数展開で、各項に上記の Aのn乗 を代入すると、 前に書いた US(Uの逆行列) の形になって、S が L の式で表せます。 L から S へは、対角行列だけの計算なので、成分計算が容易です。 少し自分で手を動かしてみて、不明な箇所を具体的に訊いてください。
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- alice_44
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三行目で、かえって最初の式に近づいていますね。 計算間違いのせいで、元どおりにはなってませんが。 「 { }内を 」「 成分ごとに 」計算して、 ２×２行列の形に書け…と言ったはずです。 そうしようとしてみましたか？ (isL)^n = is(L^n) にしてしまっていたり… 補足質問での数々の基礎力不足を見ても、 貴方には、この問題は早過ぎるとしか思えません。 まだ挑戦してみる気があれば、 E + ∑[n=1→∞] (1/n! )(isL)^n のふたつの対角線分を 書きだして見てください。
お礼
そうですか・・・。 基礎力をつけて1から出直したいと思います。 お付き合いいただきありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
No.12 補足を見落としていました。 「成分計算」から通じないんですね。そうか。 質問文に A を書いたように、m 行 n 列の行列を、 mn 個の数を並べて表すのが、「成分表示」。 そのとき並べられた各数が、その行列の「成分」。 「成分計算」とは、行列の計算を、それぞれの 成分ごとに行うことを言います。 isL が対角行列であることは確認したようですから、 その n 乗を成分表示してみましょう。それを使って、 先の｛ ｝内を、ひとつの 2×2 行列に書いてみる。 この時点では、各成分は □+□+□+… の形で構いません。 その □+□+□+… という式を睨んで、 指数関数のマクローリン展開と見比べると、 何かに気が付かないか？ という話です。 気付く気付かないはともかく、｛ ｝内の成分表示は 補足に書いてみてください。 s は変数 s のまま。勝手に値を代入したりせずにね。
お礼
＝U{E+is∑1/n!|ω^n 0|}U^-1 |0 (-ω)^n| =UEU^-1+Uis∑1/n!|ω^n 0|U^-1 |0 (-ω)^n| =|1 0| + is∑1/n!A^n |0 -1| となりました。これでいいでしょうか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
前に出す件： 補足に書いた自分の式を、よく見てごらんなさい。 eの(a+b)乗=(eのa乗)(eのb)乗 であって、 eの(a+b)乗=a(eのb)乗 ではないし、 まして、eの(ab)乗=a(eのb)乗 ではありません。 ｛ ｝内の件： わからないことを質問して、回答を得たときには、 ヒントには従ってみたほうがよいと思います。 成分計算をして、対角成分を書いてみよ…と、 繰り返し書きましたが？
- Tacosan
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「sを1としましたが、だめでしたか？」という言葉は, 問題文の「sは任意の実数」を完全に誤解している. これは「s としててきとうな実数を 1個もってくればいい」という意味ではない. あと, #10 に書いたんだけど, 成分を代入して計算した? あなたの問題なんだから, あなたが手を動かさないと.
お礼
成分というのはn=1、n=2…の時の値のことではないのでしょうか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
＞ is を前に出せませんでしたっけ？ 出せません。 出せそうに思う理由を書けば、説明しましょう。 ただそんな気がするだけなら、覚え直しなさい。 ＞ 1/n！ は、どうしたらよいでしょうか？ 先の｛ ｝内を成分計算してみましょう。 その対角成分と指数関数のマクローリン展開を 見比べると、何かに気づくはずです。 気付かない場合は、計算のチェックをしますから、 対角線成分を補足に書いてください。 ＞ この計算、何が違うんでしょうか？ 流石に、2×2 の逆行列くらい計算できないと、 この問題は未だ早すぎるのでは？ D, C11, C22 は ok、C12, C21 が違います。
お礼
＞ is を前に出せませんでしたっけ？ 出せません。 線形微分方程式などで、 log(x)=~~~+c(t) x=e^(~~~+c(t)) =e^(~~~)e^c(t) =c(t)e^(~~~) で最終的に初期条件でcを決めて、xの式を導くと思いますが、今回は使えないんでしょうか？ =U{E+iL-(1/2)L^2…+(1/n!)(iL)^n+…}U^-1 ここから、どう計算していいのでしょうか？ Lにiかけたり、2乗して1/2かけても、見比べても何もわからないです。 逆行列は完全に私のミスでした。すみません。
- Tacosan
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なぜか s が消えちゃってますが, 「isL が対角行列である」ということは大丈夫でしょうか? これが大丈夫なら, あとは成分を代入して計算するだけです.
お礼
sを1としましたが、だめでしたか？ isLについては、Lが対角行列で、isを行列にかけるだけだからisLも対角行列になると思いましたがどうでしょうか？
- Tacosan
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a が行列じゃなくてスカラのときに e^(ias) = ise^a とできますか? で, 「1/n!はどうしたらいいでしょうか？」については「ほかっておいてください」ということになろうかと. isL が (#8 で言われるように) 対角行列であれば, その計算は非常にかんたんになります. あと, U^1 はたぶん U^-1 の間違いだと思いますが, その U はユニタリですよね. なら, U^-1 は U の随伴行列にならないとおかしいですよ.
補足
U^1→U＾-1でしたね。 おっしゃったように随伴行列として計算したら一致しました。 >= U { E + (isL) + (1/2!)(isL)^2 + … + (1/n!)(isL)^n) + … } (U^-1) =U{E+iL-(1/2)L^2…+(1/n!)(iL)^n+…}U^-1 これじゃ駄目ですか？これ以上、式展開できないんですが…
- alice_44
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Aの2乗は、問題文のどこにありましたか？ e^iAs = ise^A のほうは、 問題文がそういう意図なら、そういうことになりますが、 違うんじゃないかなあ。e^(iAs) と読むのが自然でしょう。 e^X = E + X + (1/2!)X^2 + … + (1/n!)X^n + … に X = iAs と A = UL(U^-1) を代入して、 e^(iAs) = E + (iAs) + (1/2!)(iAs)^2 + … + (1/n!)(iAs)^n + … = E + (iUL(U^-1)s) + (1/2!)(iUL(U^-1)s)^2 + … + (1/n!)(iUL(U^-1)s)^n + … = E + U(isL)(U^-1) + (1/2!)(U(isL)(U^-1))^2 + … +(1/n!)(U(isL)(U^-1))^n + … = UE(U^-1) + U(isL)(U^-1) + (1/2!)U((isL)^2)(U^-1) + … + (1/n!)U((isL)^n)(U^-1) + … = U { E + (isL) + (1/2!)(isL)^2 + … + (1/n!)(isL)^n) + … } (U^-1) この { } 内が、対角行列だけの計算なので、 成分計算容易だろう～ と言っていたのです。 isL も、対角行列ですよね。
お礼
e^(iAs)ですが、isを前に出せませんでしたっけ？ ＝U { E + (isL) + (1/2!)(isL)^2 + … + (1/n!)(isL)^n) + … } (U^-1) をまとめて、 U{1+Σ(1/n!)(isL)^n}U^-1としましたが、 1/n!はどうしたらいいでしょうか？ また、いまさらですが、 U＝|1/√2 1/√2| |-(1/√2)i (1/√2)i | が得られ、 U^1AUで対角行列がどうしても得られません。 U^1＝1/D |C11 C12| |C21 C22| D=(1/√2)×(1/√2）i + (1/√2)×(1/√2)i=i C11=(1/√2)i,C12=(1/√2)i,C21=-1/√2,C22=1/√2 で、 U^1=|(1/√2) (1/√2)| |-(1/√2i) (1/√2i)| この計算、何が違うんでしょうか？
- Tacosan
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iω×v2＝ωv1 なら i v2 = v1. v1 = 1 とすると v2 は i と -i のどっち?
お礼
-iになりますね・・・ ありがとうございました。 ところで、 ＞指数関数の級数展開で、各項に上記の Aのn乗 を代入すると、 前に書いた US(Uの逆行列) の形になって、S が L の式で表せます。 Aの2乗とか問題文にありますけど、それらは無視していいのでしょうか？ また、e^iAs=ise^Aとして、e^Aを問題文の式のような形にすればいいのでしょうか？ そして、そこから ise^A＝0として解けばいいのでしょうか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
＞ しかし、i がからんでくるため、規格化ができないです。 おや？ A No.3 補足に ＞ 対角化は一応出てきています。 とあるけどな… はて。 固有値 ±ω が見つかったのなら、 固有ベクトル ω → (1, -i), -ω → (1, i) も判ったでしょう。 規格化できないとのことですが、(1, i) の長さは √(1^2 + i^2) ではなく、√(1^2 + i(-i)) = √2 ですよ。 この点がピンとこなければ、「エルミート内積」について 本を読んでみること。
お礼
＞ 対角化は一応出てきています。 とあるけどな… はて。 問題の最初に物理学では、対角化の問題がよくつかわれるとあったので、出てきていますと述べました。 ＞√(1^2 + i^2) ではなく、√(1^2 + i(-i)) = √2 ですよ。 ずっと、√(1^2 + i^2)だと思っていました。 ありがとうございました。
補足
＞固有ベクトル ω → (1, -i), -ω → (1, i) も判ったでしょう。 ω → (1, i), -ω → (1, -i)じゃないでしょうか？ 固有ベクトルをV(v1、v2)として、 AV＝λVより iω×v2＝ωv1 だから ω → (1, i)ではないでしょうか？
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お礼
返信遅くなり、すみません。 各固有値λ１、λ２はω、－ωとなりました。 しかし、iがからんでくるため、規格化ができないです。