分かりません。

質問

学校で宿題を出されたのですが、全然分かりません。どなたか解いて解説お願いします。
問１　ａを定数とし、空間内の２直線ｇ、hをｇ：ｘ＝ｙ＝ｓ+１，ｚ＝２ｓ-１　
　　　ｈ：ｘ＝２ｔ+ａ，ｙ＝３ｔ+２，ｚ＝ｔ+１とする。
　　　２直線ｇ，ｈが交わるようにａの値を求めよ。

問２　原点をＯとし、３点Ａ(２，０，０)，Ｂ(０，４，０)，Ｃ(０，０，３)
　　　をとる。原点Ｏから３点Ａ，Ｂ，Ｃ，を含む平面に下ろした垂線の足を
　　　Ｈとする。このときのＨの座標を求めよ。

　お願いします。出来れば今日中に・・・。

回答No.8

ametsuchi · ベストアンサー

まだパニックですか…？乗りかかった船ですから、もう一寸だけ。点数は要りません。お節介ながら小手先の答えを出すことより考え方の方が大事だと思いますので。

a + by + cz = d ………………………Equ.1)
a^2 + b^2 + c^2 = 1…………………Equ.2)

という「ヘッセの標準形」ですが、平面上の点P(x,y,z)は必ずこの式を充たします。そしてとても大事なことですが、

１） 面法線N=(a,b,c) と言うのは、面に直交する単位ベクトルのことです。これも図形処理をやろうと思ったら必須の知識！。
２） ｄは、原点からこの平面に下ろした垂線の足の長さ、即ち、原点から平面までの距離になっていることです。ｄは取り方によっては、<0にもなり得ますが、ここでは>=0としてよいです。

３点A,B,Cも、原点からこの平面への垂線の足もこの式を充たします。先ずこのことをしっかり理解してください。で、求めたい足をH（xh, yh, zh）としましょう。

ｄは「足の長さ」ですから、

H=ｄN=(d*a, d*b, d*c)…………………Equ.3)

を求めればよいのです。何故なら単位ベクトル、即ち長さが１の面に垂直なベクトルに足の長さを掛けると、「足の位置」が求まるからです。

ですから、A(2,0,0)、B(0.4.0)、C(0.0.3)をEqu.1)に代入すると、
2a = d
4b = d
3c = d…………………………………Equ.4)

が得られます。これを解こうにも、未知数が４つ、式が３つですから、そのままでは解けません。ですが、a^2 + b^2 + c^2 = 1ですから、Equ.4)のa,b,cを代入すると、

(d/2)^2 + (d/4)^2 + (d/3)^2
=(61 / 144) * d^2 = 1

従って、
d^2 = 144/61
d = +- 12/sqrt(61)……………………Equ.5)

です。ｄは＋－、２通り求まりますが、a,b,cの符合も変わるので、
d = 12/sqrt(61)………………………Equ.6)

としてよいです。（sqrt(61)というメンドイ計算を実際にやるわけではないです）

これをEqu.4)に代入すると、Equ.3)から、
d*a=72/61
d*b=36/61
d*c=48/61

が求まります。

以上の方法は、我々、図形処理を職業として行なっている者からすると、極めて素直なやり方なんですが、ヘッセの標準形において、何故ｄが足の長さになっているかという証明が抜けています。学校での課題としてなら他の方のやり方の方がベターかも知れません。

お礼

こんなに詳しく説明していただいて、有難うございます。詳しい説明のおかげでやっとわかりました。でも、ax+ by + cz = d とか、a^2 + b^2 + c^2 = 1とか、初めて見ました。言われてみれば、確かに面に直交する単位ベクトルに垂線の長さをかけてやれば求めるHが決まりますね。このようなやり方初めて見ました。絶対学校でやってないと思います。あとちょっと気になったことがあったのですが、Equ.1っていうのは、(1)とかのことで、ａ^２はaの2乗で、sqrt(61)はルート61のことですよね？そう思って解いていきましたが・・・。まあ、そしたら答えが出たのでそういうことかなあと・・・。いや～、それにしても自分でやっていって答えが出たときにちょっとした感動が起こりました。数学って解けたときの感動があるからいいですよね。答えは1つなのにいろいろな考え方ができるし。っていうか、ちょっと長く書きすぎたでしょうか？この位でやめときます。こんなに詳しく分かりやすく説明して下さって本当に有難うございました。とっても、感謝しています。

回答No.7

ametsuchi

私は学生さんに、直接「マンマ」の答えを出すのはよくないという立場なので、あくまでヒントにとどめたのですが、「パニック」と言われたので、もう一寸詳しく....。

平面は「ヘッセの標準形」と言って、

a*x + b*y + c*z = d.....Equ.1)

という形で表わします。これは「定石」と言ってもいいです。

・（a,b,c）は平面の単位法線ベクトルです。これを「N」としましょう。
・ｄは原点から平面までの距離です。
・ですから、その単位法線ベクトルをｄ倍したものが、ｄN=(da, dy, dz)であり求める答えです。
・a:b:cの比率は直ぐに求まります。これを正規化、即ちベクトルの長さで割って単位ベクトル化したものが「N」です。
・ｄも「No.1」で書いたように自然に求まります。

お礼

本当になんとなくですが分かった気がします。でも、ヘッセの標準形とか、法線ベクトルとかはじめて聞きました。でも、定石は聞いたことがあるような気がします。でも・・・。う～ん、やっぱパニックです。でも、2回も回答してくださって有難うございました。

回答No.6

shushou

問２について
以下ではＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＨ，ＡＢ，ＡＣは上に
矢印がついている、すなわちベクトルだと思ってください。
この問題でポイントは２つ。
１つは点Ｈが平面ＡＢＣ上にあるということをどう表現するか。
２つ目はＯＨと平面ＡＢＣが垂直であるということをどう処理するか。

１つ目について
ＯＨ＝sＯＡ＋tＯＢ＋(1-s-t)ＯＣ
　　＝(2s,4t,3-3s-3t)　　　　　（ア）
と表せることはいいでしょうか。教科書には
sＯＡ＋tＯＢ＋uＯＣ　　　ただし、s+t+u=1
などと書いてあるかもしれませんが同じことですよね。

２つ目について
ＯＨとＡＢ，ＯＨとＡＣがそれぞれ垂直になればよいですね。
（分かりますか。図を書いて納得しましょう。大事な概念です。）
ベクトルの問題で垂直とか垂線がでてきたら、内積が０
とやりますよね。（受験常識です。覚えましょう。）
よって
ＯＨ・ＡＢ＝０，　ＯＨ・ＡＣ＝０
なので、（ア）より
(2s,4t,3-3t-3s)・(-2,4,0)=0
(2s,4t,3-3t-3s)・(-2,0,3)=0
この連立方程式を解いて
s=36/61,t=9/61
（ア）に代入して
ＯＨ＝(72/61,36/61,48/61)を得ます。

お礼

今日の授業でこれと同じやり方でやりました。皆さんって本当に頭良いですよね。こんな問題もスラスラっと解けちゃうんですか？うらやましい・・・。俺はこの問題を自力で解こうとして20分くらい悩んだんですけど、分かりませんでした。いづれにせよ、回答ありがとうございました。

回答No.5

noname#4530

ゴメンナサイ。
チョットかんちがいしてましたね。

(a,b,c)=(2b,b,4/3b)----(1)
のトコからやりなおしデス。

上の式を変形すると、
(a,b,c)=b(2,0,0)+b/4(0,4,0)+4b/9(0,0,3)

Hは面ABC上にあるので、

b+b/4+4b/9=1

これを解くと、b=36/61

これを(1)に代入すると答えがでてきマス。

いやぁ、さいしょっからつまずいてしまいました。ハズカシイ...

お礼

回答有難うございました。今日の授業で助かったとともに、知識として頭にしっかり入りました。2度も回答していただいて有難うございました。これからもよろしくお願いします。

回答No.4

guiter

ちゃんと自分で皆さんの回答を追ってみましたか。
nagata さんの回答は t の値を計算ミスされてるだけであってますよ。

お礼

そのようでしたね。まず答えが違っていたので、解き方をあまり見ませんでした。
今度からはきちんと見るようにします。

回答No.3

noname#4530

問2について

この問題は,ベクトルを使うともっと簡単に解けます。
まず、BAベクトルは、(2,-4,0)
CBベクトルは、(0,4,-3),CAベクトルは、(2,0,-3)。

ここで、Hの座標を、(a,b,c)とおくと、

OHベクトルと、さきにあげた3つのベクトルは互いに直行してるので、

4b-3c=0,2a-4b=0,2a-3c=0

この3式よりa,cを消去して、
(a,b,c)=(2b,b,4/3b)

また、Hは、平面ABC上にあるので、

2b+b+4/3b=1より、b=3/13

よって、答えは、(6/13,3/13,4/13)

いやぁ、はじめて質問に答えるので、キンチョウしてますが、
おそらくあってるとオモイマス。

お礼

nagataさんのお礼にも書いたのですが、答えは（72/61,36/61,48/61）です。何が間違っていたのでしょうか？

回答No.2

nagata

問1
交わる点p(X,Y,Z)は両方の直線の式を満たすので
X=s+1=2t+a
Y=s+1=3t+2
Z=2s-1=t+1

Y,Zの式はsとtの連立方程式なのでこれを解けばs,tが求まります。
それをXの式に代入すればaが求まります。

問2
3点A、B、Cを通る平面の式は(x-2)/2+y/4+z/3=0と表せます。
で、この平面の垂線の方向は(1/2、1/4、1/3)となります。
原点を通り、この垂線と並行な直線上の点はt(1/2、1/4、1/3)と書けます。
これが平面ABC上にあるので

(t/2-2)/2+(t/4)/4+(t/3)/3=0
t=4/29
H=(2/29,1/29,4/87)
となります。

すいません、問2は全く自信無しです。間違っている可能性大です。

お礼

回答有難うございます。問１は分かりやすくて助かりました。問２は答えは違っていました。答えだけは分かっています。答え（72/61，36/61，48/61）です。
言い忘れていましたが、ここはベクトルの問題で、実はＨの座標を求めるのは(2)で、(1)は△ＡＢＣの重心の座標Ｇを求めよという問題があったのですが、言った方が良かったでしょうか？そうならすみません。

回答No.1

ametsuchi

とりあえず、問２のヒントだけ。

平面は
a*x + b*y + c*z = d.....Equ.1)

と表現されます。ここに、
a^2 + b^2 + c^2=1.......Equ.2)
です。

通過点を考えると、

2a = d,
4b = d,
3c = d...................Equ.3)

ですから、a,b,cの比率が決ります。これと条件Equ.2)から、a,b,c,dが全て決ります。

で、原点からこの平面に下ろした足は、

dN = (da, db, dc)........Equ.4)

になります。Nは平面の法線ベクトル(a,b,c)です。

問１も難しくないが、誰か答えてくれるでしょう。

お礼

回答有難うございました。かなり難しいように思えて、パニックです。