Arctantとtの極限

質問

C1:(x/a)^2+(y/b)^2≦1
C2:(x/b)^2+(y/a)^2≦1
(0<b<a)とし
C1とC2の共通部分の面積をSとする

g(x)=Arctanx
t=b/a
としたときに
S/b^2をtとg(t)を用いて表し
limS/b^2
t→0
を求めよ

解法では
0≦x
0≦y
y≦x
とSの共通部分が
1/8Sになるので
0≦x
0≦y
y≦(b/a)x
x^2+y^2≦b^2
の部分の面積1/2g(t)b^2
をa/b倍したものが1/8Sで
S=4g(t)/t
limS/b^2=4g'(0)=4
t→0

となるのですが
1/8S=1/2(ab/√(a^2+b^2))^2+a^2/b^2[ab/√(a^2+b^2),b]∫√(b^2-x^2)dx
から
Arcsina/√(a^2+b^2)=g(1/t)
g(1/t)=π/2-g(t)
なので
S/b^2=4/(1+t^2)-{(1+t^2)g(t)-t}/t^2(1+t^2)
これをt→0とすると
lim(Arctant-t)/t^2
t→0
が不定形となってしまいます。

ロピタルの定理を使えば0に収束しますし
Arctanxの級数展開を利用しても0に収束することは言えるのですが
大学受験の問題なのでできれば高校範囲で示したいのです。。。
(そもそも逆三角関数が出てきた段階で高校逸脱範囲なのだと思うのですが。。)

なにかいい案をお持ちでしょうか？

回答No.1

ItachiMasamune · ベストアンサー

1/8S=1/2(ab/√(a^2+b^2))^2+a^2/b^2[ab/√(a^2+b^2),b]∫√(b^2-x^2)dx
が違います。
a^2/b^2じゃなくてa/bでしょう。

∫√(b^2-x^2)dx=(1/2)b^2{g(t) - t/(1+t^2)}ですので面積は最初の結果と同じになります。

お礼

一度ならず二度もありがとうございます。

ご指摘の通りでした。
こんな面倒な計算は出てこないんですね。。。(汗

あとお礼に書くことではないのでしょうが
lim(Arctant-t)/t^2
t→0
この形の極限自体は
t→tanθの置換で解決できました。

どうもお手数をおかけしました。