４つの変数を持つ方程式の解き方

質問

空間中に３点 A( a x , a y , a z ) ，B ( b x , b y , b z ) ，C ( c x , c y , c z )があります。
この３つの点がつくる平面の方程式を求めて頂けませんか？

平面の方程式の一般形の ax+by+cz+d=0 に点A，点B，点Cの座標を代入して得られる連立方程式を解けばいいらしいのですが、解き方が分かりません。解法を分かる方がいらっしゃいましたら教えて頂けませんか？

ただ、点A，B，Cの座標の例を挙げますと
A（-343,-418,960）B（-507,-396,1062）C（-454,-301,1331）
というように、非常にややこしいというか…計算しにくい値のように感じます。
値に関係なく解く解法のようなものがあればいいのですが…。

すみませんが、よろしくお願い致します。

回答No.2

ency · ベストアンサー

平面の方程式は
　ax+by+cz+d=0
ですが、点Aを通ることから、最初から
　a(x-ax)+b(y-ay)+c(z-az)=0
とおいてしまえば、変数をひとつ減らせますよね。

あとは、B、Cの座標を代入してあげれば、a、b、cについての方程式が2つできますので、それらを連立してどれかひとつの文字で他の文字をあらわしてあげれば良いですね。
# たとえば、b=○a、c=□a といった感じです。

最後に a で割ってあげれば、平面の方程式のできあがりです。

ちなみに、ベクトルAB、ベクトルACを求めておき、両ベクトルに垂直なベクトルを求めることができるんだったら、それを (a, b, c) とできますね。
# これには、ベクトルの外積をその成分から計算する方法を知っている必要があります。
# こちらは、受験テクニック的なものになるのかなぁ。
# たとえば、予備校とか進学校なんかでは、外積なんて言葉を用いずに
# 「2つのベクトルに垂直なベクトルはこうやれば求まるぞ」
# というような教え方をしているんじゃないかな (←今はわかりませんが、15年くらい前はそうでしたね)。

お礼

回答ありがとうございました。
さっそく計算してみます！また何かありましたらお伺いすることがあるかもしれませんが。。
今回は本当にありがとうございました。

回答No.4

inara

平面の方程式を A*x + B*y + C*z = 1 とおけば、これが３点（ ax, ay, az ）、（ bx, by, bz ）、（ cx, cy, cz ） を通るなら、A、B、C は以下の連立方程式の解です。
　　　A*ax + B*ay + C*az = 1
　　　A*bx + B*by + C*bz = 1
　　　A*cx + B*cy + C*cz = 1
これを解くと
　　　A = ( -cy*bz + cz*by + ay*bz - ay*cz - az*by + az*cy )/D
　　　B = -( bx*cz - bx*az - bz*cx + bz*ax - ax*cz + az*cx )/D
　　　C = ( bx*cy - bx*ay - by*cx + by*ax - ax*cy + ay*cx )/D
　　　D = ( -cy*bz*ax + cz*by*ax - cz*bx*ay + ay*bz*cx + cy*bx*az - az*by*cx )
となります。

３点の座標が（-343, -418, 960 ）、（-507, -396, 1062 ）、（-454, -301, 1331 ） なら
　　　A = 41/385680、B = -24761/17741280、C = 2791/5913760
です（ANo.3 さんの結果と一致しています）。

確認のために、３点の座標とA, B, C の値を元の連立方程式に代入したらちゃんと合っていました。
連立方程式の解は数式処理ソフトによるものです。

お礼

詳しい数式まで提示していただき、ありがとうございます。
ご丁寧な回答、本当にありがとうございました。

回答No.3

noname#62830

直線の方程式が y = ax + b であるように、
平面の方程式は z = ax + by + c と表した方が簡単かもしれません。

＞値に関係なく解く解法のようなものがあればいいのですが…。
n元1次方程式は、計算機を用いて高速に計算する解法が多くあります。
素朴なものでは、「ガウスの消去法」「ガウス・ジョルダン法」等がそれに当たります。
難しい考え方ではないので是非調べてみてください。

形を平面の方程式に限るのでしたら、Excelでも可能です。
ちなみに、質問のA(-343,-418,960),B(-507,-396,1062),C(-454,-301,1331)を通る平面の方程式は、
0.22525x - 2.9572y + z = 2118.9 となります(自信無…)。

お礼

回答ありがとうございます。
Excelでも可能なんですね。試してみます。
今回は回答していただき、本当にありがとうございました。

回答No.1

12125j

>>空間中に3点A(ax,ay,az),B(bx,by,bz),C(cx,cy,cz)があります。
これを下記の通り読み替えます。
空間中に3点A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),C(c1,c2,c3)があります。

-343a-418b+ 960c=0
-507a-396b+1062c=0
-454a-301a+1331c=0

上記3元連立1次方程式からa,b,cを計算して、
平面の式ax+by+cz=0として下さい。

補足

＞-343a-418b+ 960c=0
＞-507a-396b+1062c=0
＞-454a-301a+1331c=0

とありますが、これは ax+by+cz+d=0 に点A，点B，点Cの座標を代入しただけでしょうか？

このとき、dは無視してもいいのでしょうか？

すみませんが、回答よろしくお願い致します。