微分積分に関する質問

質問

(1)不等式e^x＞1＋x＋x^2/2（x＞0）を証明せよ。
また、これを用いて、
lim logt/t　およびlimx/e^xの値を求めよ。
t→∞　　　　　　x→∞

(2)平均値の定理はb=a+h,θ=c-a/b-aとおくと、f(a+h)=f(a)+hf ´(a+θh)　　(0＜θ＜1)
という形になる。これを用いて次の問でθをa,hを用いて表せ。
(α)　f(x)=x^3
(β)　f(x)=1/x

上の二つの問題がどうしてもわかりません。(1)は最初の証明はできたのですが、値を求めるところで詰まってしまい、(2)はどのように解いたらいいのかさえわかりません。
どうか、皆さんのお力を貸してください。よろしくお願いします。

回答No.2

rarara888 · ベストアンサー

(１)logt=yとおくとt=e^y またt→∞のときy→∞
よってlim logt/t=lim y/e^y
つまり、lim logt/t=limx/e^xとなるわけです。
また、e^x＞1＋x＋x^2/2（x＞0）より、1/e^x<1/(1＋x＋x^2/2)
よって、x>0では、x/e^x<x/(1＋x＋x^2/2)=1/(1/x+1+x/2)
x→∞のとき最右辺→０となるのでx→∞ではx/e^x<0
また、x>0ではx/e^x>0となるのではさみうちの定理より
limx/e^x=0となります。
(２)は普通にf(x)=x^3,f'(x)=3x^2に値を入れて、恒等式みたいにとけばできると思います。

お礼

夜中にわざわざありがとうございます。
助かりました。

回答No.1

Hik031

(1)について
　 logt=sとおくと lim logt/t=lim s/e^s=0
t→∞　　　s→∞
　 e^x>x^2/2から、0<x/e^x<2/x (x>0) lim2/x=0 より limx/e^x=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x→∞　　　　 x→∞

お礼

回答ありがとうございます。
さっそくやってみます。