ロルの定理の証明、高校数学、再質問

質問

ロルの定理；ｆ（ｘ）を［a,b］において連続、（a,b)において微分可能な関数とする。さらに、f(a)=f(b)のとき、f´（ｃ）＝０かつa<c<bを満たすｃが存在するを証明

（本の記述）ｆ（a)=f(b)≠０であればｇ（x)=f(x)-f(a)を考えることで、ｇ(a)=g(b)=０となるから、最初から、f(a)=f(b)=0として証明してもよい。（★）
（ア）ｆ（ｘ）≡０のときはa<x<bなる任意のｘでｆ´（ｘ）＝０だから定理は成り立つ。
（イ）ｆ（ｘ）は恒等的に０でない時（ｆ（ｘ）≡０の否定です。ＰＣで記号が出ません｝
ｆ（ｄ）≠０となるｄが（a,b)に存在する。
仮にｆ（ｄ）＞０とすると最大値の定理より、、［a,b］にｆ（ｘ）の最大値が存在するが、
最大値は０でない(aでもｂでもない）から
そこで最大値を与えるｘをｃとすると、∀ｘ∈［a,b］に対し、ｆ（ｃ）≧ｆ（ｘ）よりlim(h→＋０）｛ｆ（ｃ＋ｈ）－ｆ（ｈ）｝
／ｈ≦０、lim(h→ー０）｛ｆ（ｃ＋ｈ）－ｆ（ｈ）｝／ｈ≧０となる。ｆ（ｘ）はｃで微分可能だから、lim(h→＋０）｛ｆ（ｃ＋ｈ）－ｆ（ｈ）｝
／ｈ＝lim(h→ー０）｛ｆ（ｃ＋ｈ）－ｆ（ｈ）｝／ｈ＝０
ゆえにｆ´（ｃ）＝０

したがって定理は証明された。

★の仮定をしないとイではどのように議論が進むのでしょうか?詳しく教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

平行移動しているだけなので、何も難しいことはないのですが...
そもそもの解答では、「基準面」が y＝ 0となるように平行移動して書いていたので、
それが y＝ f(a)となるだけです。

少し大枠でとらえる感覚で見た方がいいかもしれませんね。