微分積分の問題です

質問

微分積分の問題です。途中式を含めて教えて欲しいです。m(-_-)m

(1)lim　　　｛(2x-3)(2x-1)｝/(x^2＋1)
x→-∞

(2)lim 1/｛√（x^2＋x)-x）｝
x→∞

(3)lim x｛√（x^2-9）＋x｝
x→-∞

(4)次の等式が成り立つとき定数a,bの値を求めよ

lim (ax^2＋bx＋6)/(x^2-x-2) =1/2
x→2

宜しくお願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)lim[x→-∞] (2x-3)(2x-1)/(x^2＋1)
=lim[x→-∞] (2-3/x)(2-1/x)/(1+(1/x^2))
=2*2/1=4

(2)lim[x→∞] 1/｛√（x^2＋x)-x)｝=lim[x→∞]｛√（x^2＋x)+x)｝/{(x^2＋x)-x^2)
=lim[x→∞]｛√（1＋1/x)+1)｝= 2

(3)lim[x→-∞] x｛√（x^2-9）＋x｝=lim[x→-∞] x｛(x^2-9）-x^2｝/｛√（x^2-9）-x}
=lim[x→-∞] -9x/｛√（x^2-9）-x}=lim[x→-∞] 9/{√（1-(9/x^2)）+1}
= 9/2

(4)次の等式が成り立つとき定数a,bの値を求めよ
L=lim[x→2] (ax^2＋bx＋6)/(x^2-x-2) =1/2
0/0形で有限値に収束し
分母=(x-2)(x+1)
であるから分子もx→2で(ax^2＋bx＋6)=4a+2b+6=0…(A) とならなければならない。
(A)から b=-3-2a …(B)
このとき
L=lim[x→2] (ax^2-(3+2a)x＋6)/(x^2-x-2) =lim[x→2](ax-3)(x-2)/{(x-2)(x+1)}
=lim[x→2] (ax-3)/(x+1)
= (2a-3)/3 =1/2
2(2a-3)=3
4a=9 ∴ a = 9/4

(B)に代入
∴ b=-3-9/2=-15/2