導関数の応用

質問

t>0,a>0,b>0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

(1)logt<=t-1
(2)logt>=1-1/t

自身で途中まで考えたので、（正解・不正解はともかく）一応載せておきます。
(1)f(t)=ｔ－１－logtとおく。
　f'(t)=1-1/t >0
f(0)=1-1-log1=0　である

(2)f(t)=logt+1/t-1とおく。
以下(1)と同様。

どうでしょうか？
考え方等含めてよろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

（１）
ｆ（ｔ）　＝　ｔ　－　１　－　logｔ
ｆ’（ｔ）　＝　１　－　１／ｔ

ｆ（１）　＝　１　－　１　－　log１　＝　０
ｆ’（１）　＝　１　－　１／１　＝　０

０＜ｔ＜１　のときは
ｆ’（ｔ）　＝　１　－　１／ｔ　＝　１　－　１より大きい数　＜　０

ｔ＞０　のときは　logｔ
ｆ’（ｔ）　＝　１　－　１／ｔ　＝　１　－　１より小さい数　＞　０

以上のことから、ｆ（ｔ）は、
・ｔ＝０　で極小
・ｔ＜０　で単調減少
・ｔ＞０　で単調増加
であるため、ｆ（ｔ）≧０　が成り立つ。

（２）
logｔ　≧　１　－　１／ｔ
ｆ（ｔ）　＝　１　－　１／ｔ　－　logｔ
ｆ’（ｔ）　＝　１／ｔ^2　－　１／ｔ　＝　（１－ｔ）／ｔ^2

ｆ（１）　＝　１　－　１／１　－　logｔ　＝　０
ｆ’（１）　＝　
あとはお任せです。

お礼

遅くなりました。スミマセン。

適切なご回答、ありがとうございました。

今後ともよろしくお願いします。

回答No.4

info22_

(1)f(t)=ｔ－１－log(t)とおく。
　 f'(t)=1-1/t=(t-1)/t
0<t<1で　f'(t)<0,
f(1)=1-1-log1=0,
t>1で　f'(t)>0　であるから
　0<t<1でf(t)は単調減少、1<tでf(t)は単調増加である。
　t=0で極小かつ最小である。最小値はf(1)=0
したがって　f(t)=t-1-log(t)≧0(t>0) ∴log(t)≦t-1

(2)f(t)=logt+1/t-1とおく。
>以下(1)と同様。
解答の省略は×。
(1)のやり方に習ってやってみて！
それを補足に書いて下さい。

お礼

遅くなりました。スミマセン。

丁寧かつ分かりやすいご回答、ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

(1) f(t) = t - 1 - log t とおいたら f(0) って計算できないよね. あと, t > 0 の条件で f'(t) = 1 - 1/t > 0 とはいえないのでは?

お礼

遅くなりました。スミマセン。

適切なご回答、ありがとうございました。

今後ともよろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl

> 　f'(t)=1-1/t >0

f'(t)はt = 1で0の値になるので、この不等式は成り立ちません。
f'(t) ≧ 0であれば成り立ちます(但し0 < tの時)。

> f(0)=1-1-log1=0　である

f(1)ではないですか？

それから、f(1) = 0ならlogt ≦ t-1となる理由が
どこにも書かれていません。
この理由が無いと、正解にはならないと思います。

お礼

遅くなりました。スミマセン。

丁寧かつ分かりやすいご回答、ありがとうございました。