細かいことですが、、、

質問

定義を式に書き起こすと,

fがaでe方向に微分可能
⇔g(t)がt=0で微分可能
⇔lim_{h→0, h≠0}[(g(0+h)-g(0))/h]が存在する
⇔lim_{h→0, h≠0}[(f(a+he)-f(a))/h]が存在する

(同じ教科書の)定理
f:U→R, U∈R^n, x∈Uで微分可能
⇒fのxにおけるe方向の導値はf’(x)e

証明
(前略)
lim_{t→0, t≠0}[{(f(x+te)-f(x))/t}-f’(x)e]=0
よってfはxでe方向に微分可能で,その導値はf’(x)eとなる

証明の式でtとなっているところは, tでない記号でなければいけないと思いませんか？定義で書き起こした式のh,のように, tでない記号でなければいけないと思います. (hは自分で勝手に置いた記号なので, hである必要はないです)

tだと, 証明のf(x+te)は定義で使ったg(t)=f(a+te)のf(a+te)を使ったものだと勘違いを起こしそうです. ある定義で出た記号を, (その定義を使う証明に)別の意味として使うのはよくないと思いませんか？

回答No.2

kiyos06

>証明のf(x+te)のtと,定義で使ったg(t)=f(a+te)のtが同じものだと
20)tが同じとみなせるかだとすると、下記の(前略)からの流れに依存する。
>証明
>(前略)
21)証明でのtの初出の時に、定義と同じ意味合いで出てきたかどうか。

回答No.1

kiyos06

>定義で書き起こした式のh,のように, tでない記号でなければいけないと思います
1)はい、別の式だから、別の変数にするべきでしょう。

>証明のf(x+te)は定義で使ったg(t)=f(a+te)のf(a+te)を使ったもの
2)こっちは、同じ式なので、a =xの時と考えればokじゃないですか?

お礼

>2)こっちは、同じ式なので、a =xの時と考えればokじゃないですか?

表現が正確ではなかったですね。

証明のf(x+te)のtと,定義で使ったg(t)=f(a+te)のtが同じものだと勘違いを起こしそうです.

の間違いです