グラフを利用した証明

質問

僕はかつてここで質問したときに、数列をグラフで解くという解答例を示して頂き感動しました。それ以来グラフの重要性を何回も感じています。関数の証明問題は70%以上グラフで片付くとも思ってしまうほどです。(これは正しいでしょうか。)

そこで本題ですが、cosx≧1-x^2/2というのはテイラーの展開の一部で大学入試ではロピタルと同様タブーだそうです。しかしグラフを見れば一目瞭然です。それでも使っていけないのでしょうか。

また問題集にlogx<√x,log(1+x)≧2x/(2+x)は各自で微分法を用いて証明すること、とありました。微分でも証明できるでしょうが面倒なのでグラフを書いたら1発でした。こういう証明の仕方で大学入試ではどこの大学でも正解にしてもらえるのでしょうか。一切減点も去れずに。確か教科書に「不等式のグラフを利用した解法」みたいな項目があった気がしますが・・・・

またちょっと余談ですが、テイラーの展開は問題を解いているうちに実際にその重要性に気がつき始めました。なのでsin,cos,e,log(1+x)の4項目ぐらいまでは暗記してもよいでしょうか。別に苦痛ではありません。

以上4つほどになりましたが、どなたか解答をよろしくお願いいたします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞関数・・・70%以上グラフで・・・
関数の証明問題でグラフ使用可は殆んどないはずですが・・・
俄かには思いつきません。何か具体的に示して頂ければ回答できるかもしれません。
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＞＞cosx≧1-x^2/2
＞＞一目瞭然です。
一目瞭然ではありません。
Ｆ（Ｘ）＝cosxー1＋（x^2）/2
Ｆ’（Ｘ）＝Ｘ－ＳＩＮ（Ｘ）≧０を示す必要があります。
Ｘ－ＳＩＮ（Ｘ）≧０を無条件で使用して良いかについては、
（sinＸ／Ｘ）→１の証明に使われる図を見てください。
＜循環論法とも評される著名な図です。＞
Ｇ（Ｘ）＝Ｘ－ＳＩＮ（Ｘ）
Ｇ’（Ｘ）＝１－ＣＯＳ（Ｘ）≧０とすれば、完全といえば完全ですが・・・
ここまでしめせば、cosx≧1-x^2/2はＯＫですが、
cosx≧1-x^2/2と
cosx≒1-x^2/2とは全く意味が違います。
sinx≒xすら、入学試験での使用不可です。
使用可はsinx/x→１のみです。
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＞＞√x＞logx
＞＞グラフを書いたら1発でした。
どこが一発なのか理解できません。
大学入試では０点です。
グラフのＩＭＡＧＥをしっているから、証明できているように思えるだけです。
グラフは有用ですが、使用範囲をわきまえる必要があります。所謂＜グラフに騙される＞事項が発生します。試しに微分してみましたがＸ＝４で極値を持つようです。２＞Ｌｏｇ２を示す事になります。
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＞＞log(1+x)≧2x/(2+x)
グラフを描いてみました、2x/(2+x)＝２－（４／（Ｘ＋２））
（０、０）で接するようです。接することを示すためには、log(1+x)、2x/(2+x)の微分が必要です。微分係数は共に１のようです。
どの事項も明白ではありません。
グラフだけでは何も言えません。
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＞＞sin,cos,e,log(1+x)
苦痛でないならばＯＫですが多分、一週間後に覚えているのはＥのみと思います。ＩＭＡＧＥだけで充分です。入学試験で特に役に立つとは思えません。
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お礼

皆さんありがとうございました。

テイラは覚えるのをやめます。グラフはイメージに使い、証明に使うときはグラフオンリーではなくいろいろと記述も書きます。

回答No.1

angrox

例えばx<2^xのような明らかに大小関係がわかるものはグラフを書いておしまいでいいと思います。ただし、質問でもあったcosx≧1-(x^2)/2のようなどちらも曲線のときにグラフ書いて証明おしまいは危険です。それは上の関係が示されている。もしくは知っているから結果が分かっているだけであって、本当に正しいかどうかはちゃんと説明しないと減点される可能性大です。グラフでは大まかにしか分からないのでこれで合ってるといっても証明にはなりません。ちなみにテイラー展開は入試でちょっと出てくることもあります。不等式の形で証明問題のパターンです。もし出てきたら「あぁ、テイラーだ。」程度にしておくのが安全です。sinx≒x(xが十分に小さいとき)はよく出てくるので覚えていると得します。テイラーもロピタルも高校生の段階では説明しきれないので入試の禁じ手になっています。基本的な問題を確実に解ける力がつけば応用も解けるようになります。テクニックに走らないほうがいいと思います。