オイラーの定理の証明方法

質問

新大学一年生です。

次のようなオイラーの定理の証明方法は正しいでしょうか？？

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e^ix=cosx+isinx を示す。

A(x)=cosx+isinx とおく。A'(x)=-sinx+icosx

∴A'(x)/A(x)=(-sinx+icosx)/(cosx+isinx )=｛(-sinx+icosx)(cosx-isinx)｝/｛(cosx+isinx )(cosx-isinx )｝=i

∴A'(x)/A(x)=i の両辺をxで一回積分して

log|A(x)|=ix+C (C：積分定数)

∴A(x)=e^(ix+C)

ここでA(0)=cos0+isin0=1より、C=0

∴A(x)=e^ix

∴e^ix=cosx+isinx

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私にもわかりやすいのですが、ネットや本にはあまり載っていなく、別のテーラー展開を使ったものの方が多いです。

この方法は正しいのでしょうか？個人的には複素数で微分積分していいのかな？と疑問に思います。

新大学一年にもわかるように教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

マクロリン展開を用いた証明が厳密か？といわれれば・・・
まあ厳密といえば厳密ですが
どこまで考えるかというところに行きつきます．

朝永振一郎の指摘はじつはよく指摘されることで
まったくその通りです．
これを回避するには
実数のべき級数を考えるのと同時に
複素数のべき級数も一緒に考えてしまうという手があります．
＃たしか「杉浦の解析入門」はこの手を使ってたはず（IIの方だったと思う）

少し手を動かせばわかりますが，
実数でも複素数でもべき級数の議論はほとんど変わりません．
収束そのものの定義もεδでの絶対値を
複素数の絶対値だと思えばいいだけくらいの
瑣末な差異がある程度です．
むしろ複素数で絶対値一定というのは円を表すので
収束「半径」という言葉がしっくりします．

したがって複素数でのべき級数の議論を経ていれば
ixを代入して「えいやー」とやるオイラーの発見的手法は正当化できます．

この級数から定義する方法は・・論理的には明確で，
加法定理なんかは指数法則そのものとなり
指数法則は級数の積（絶対収束級数のコーシー積を考えればいい）になるので楽ですが，
その反面，三角関数の幾何的性質から乖離しているので
幾何的性質に結びつけるのが厄介だということにも留意が必要でしょう．

幾何的性質のためには
sin^2(x)+cos^2(x)=1を導くのが第一歩でしょう（これは楽）．
周期性やsin(π)とかを考えるのは「長さ」を考えると楽ですが
長さの定義は積分なので・・・と考えるとそれなりに話が長くなります．
＃長さなしで周期性とかを出す方法は・・・ぱっと思いつかない・・きっとあるんだろうけど

お礼

２回にわたり詳しく教えていただきありがとうございました。

私にはまだ理解が追いつきませんので、後のお楽しみにしておきたいと思います。

回答No.1

kabaokaba

正解は正解なんですが，
論理の順番というか，循環論法の危険性があります．

教科書では普通，

実数の定義（連続性とかinf/supの話）
収束
級数・・・たいていここで，初等関数を定義してしまう
微分
積分
微分方程式などの応用

といった順番が多いのです．

この際，
(1)三角関数をどのように定義するか？
(2)指数関数・対数関数をどのように定義するか？
(3)複素数をどのように絡めるか？

という問題があります．
ひとつの手法として，具体的な関数は一切定義せず，
一気に微分方程式の議論まで行って
（複素数変数を考えければ複素数値関数でもOKということも考慮して）
初等関数をすべて微分方程式で定義してしまうという流儀があります
この場合
y'=y y(0)=1 でy=e^{x}
y''=-y y(0)=1 y'(0)=1 で y=cos(x)
y''=y y(0)=0 y'(0)=1 で y=sin(x)
を定義してしまうと
まあ，あなたのいうような証明は正当化されます．
＃ほかの定義の仕方でもあなたの証明が循環論法にならないようにすることは
＃もちろん可能です．ここでは一例として微分方程式で何でも定義する手法を挙げただけです

一方，積分の定義なしでは当然あなたの証明は正当化されません．

ということで
何をどこまで前提とするかで証明の正当性は左右されます．

なお例えば，何を使ってもいいというような状態であれば
あなたの証明はまったく正しいものです．

杉浦「解析入門I，II」東大出版
高木「解析概論」岩波

あたりをじっくりよむときっと疑問は解決するでしょう．

ちなみに，複素数での微分積分，
正確には複素数変数の微分積分は
関数論とか複素関数論とよばれ
それだけで数学の一大分野というか，
超巨大な理論体系があります．
興味があれば，前掲の二冊の本の後ろのほうにかるい導入があります．
＃一回微分できれば何回でも微分可能とか，
＃関数値が積分で与えられるとか，いろいろとすごい性質があります

お礼

ありがとうございました

補足

回答ありがとうございます。よく見たらオイラーの「公式」でしたね。

さらに質問なのですが、マクローリン展開を用いた次の方法の方が厳密なのでしょうか？？（これも前提の問題があるとは思いますが・・・・）

http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~shimeno/math/euler/euler.html