円と接線

質問

円ｘ＾２＋ｙ＾２＝２５について、円上の点(３、４)における接線は何か？

これは３ｘ－４ｙ＝２５と答えを求めました

また傾きが－４／３の接線の方程式を求めよ。

きっと上の答えの３ｘ－４ｙ＝２５を利用して求めるのだとは思いますが分かりません。教えて下さい。

回答No.7

eatern27

3x+4y=25の傾きが-3/4（=-4/3の逆数）なんだから

3x+4y=25をy=xに関して対称移動して、

一本目は4x+3y=25

二本目は図を書けば4x+3y=-25だ、というのがすぐ分かりませんか?

回答No.6

springside

この場合は、「直線と円が接する」ということは「直線の式と円の式を連立すると重解を持つ」ということなので、以下のように解けます。
（注：この考え方は、相手が「円」でなくても、「２次関数」、「３次関数」など「ｎ次関数」でも使えます。）

傾きが-4/3の直線は、y=(-4/3)x+bと置ける。
これを円の式に代入すると、
x^2+{(-4/3)x+b}^2=25
これを整理すると、
25x^2-24bx+9b^2-225=0
となる。
このxの２次方程式が重解を持つから、判別式=0。よって、
(24b)^2-4*25*(9b^2-225)=0
これを整理すると、
b^2=625/9
となるから、
b=±25/3
よって、接線の方程式は、
y=(-4/3)x±25/3　（注：２本の直線を表しています。）

回答No.5

fushigichan

ti-zuさん、こんにちは。
-----------------------------------------------------------------
円x^2+y^2=r^2
において、円上の点(a,b)におけるこの円の接線の方程式を求めましょう。

この接線は、ベクトル(a,b)と垂直になっていますね。
この接線の方向ベクトルを(b,-a)とおくと、
(a,b)⊥(b,-a)←内積をとれば、０になっています。
また、接線は、接点(a,b)を通るので、この接線の方程式は
(x-a)/b=(y-b)/a
変形すると、
ax-a^2=by-b^2
ax+by=a^2+b^2=r^2
ax+by=r^2　・・・・・（☆）となるのが分かりますね。
------------------------------------------------------------------

上のことを使いましょう。
x^2+y^2=25
の点（3,4)における接線の方程式は、（☆）から
3x+4y=25
と求められますね。

さて、ここで傾き-4/3の接線を求めたいのですが、
接点が分からないので、接点を(a,b)としてみましょう。
接点は、円周上にあるので、
a^2+b^2=25　・・・・・（１）
ですね。

ここで、（☆）から、接線の方程式は
ax+by=25
と簡単に求まります。これを変形して、傾きが-4/3になるようにすればいい。
by=-ax+25
y=-a/bx+25/b　・・・・・（２）
（２）が接線の方程式ですが、この傾きが-4/3ですから
-4/3=-a/b
3a=4b　よって、b=3/4a・・・・・（３）

ここで、（３）を（１）に代入してみましょう。
a^2+(3/4a)^2=25
16/16a^2+9/16a^2=25/16a^2=25
a^2=16したがって、a=±4
a=4のときb=3
a=-4のときb=-3
その、それぞれでの接線の方程式は
4x+3y=25
4x+3y=-25
となることが分かると思います。

頑張ってくださいね！！

回答No.4

aqua_oka

まず一つ目の答えが違います。
３ｘ＋４ｙ＝２５ですね。
「また・・・」ということですが、その場合は接点を（ａ、ｂ）と置きます。ａｘ＋ｂｙ＝２５として変形すると
ｙ＝－（ａ／ｂ）ｘ＋２５となりますね。傾きが－４／３ですから－４／３＝－ａ／ｂ（マイナスは省いても構いません）すると（ａ，ｂ）＝（４，３）,（－４，－３）です。
図を書くとどちらも分かりやすいと思います。後者は答えが２つあることに注意させることがこの問題の意図でしょう。

補足

そうです、３ｘ＋４ｙ＝２５です。タイプミスでした。
皆さんにもこの場を借りてお詫びをします(泣）解きにくかったですね・・・

回答No.3

oshiete_goo

＃２ですが，訂正です．
大間違いで，円の中心（原点）を通って傾き3／4の直線：３ｘ－４ｙ＝０と円との２交点を求めて．．．でした．
お詫びして訂正いたします．

回答No.2

oshiete_goo

＞これは３ｘ－４ｙ＝２５と答えを求めました
接点(３，－４)なのでしょうか？
それならOKですね．

３ｘ－４ｙ＝２５・・・（１）
で，これは傾き3／4ですね．
すると，これと直交する接線が傾き-4/3なので，
ということは，（１）と，円の交点を２つ求めればその2点で引いた円の接線が求めるものなのでは？
(他にも解法はありますね．)

回答No.1

noname#74219

接点の座標をＴ（ｘ，ｙ）と置くと、ＯＴの傾きがでます。・・・(1)
それが－４／３と垂直に交わるから、
ＯＴの傾きが出ますね。・・・(2)
(1)＝(2)を利用して・・・
これで解けなかったらごめんなさい！
っていうか、上の式使ってないし・・・。