指数方程式

質問

大学で数学を専攻してる者です。

ふと疑問に思ったことで、例えば

3^x + 2^x = 35

という方程式に対して、これを数学的に解く方法はあったでしょうか？忘れているだけかもしれませんが、ご指導お願いします。ｘの範囲は実数とします。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

「数学的に解く」というのが、どういう意味か分からないのですが、このような方程式は、超越方程式ですから、明らかに代数的に解くことは不可能です。超越方程式を解くには、その方程式を解くのに適した、超越関数を使わなければなりません。しかし、この問題を解くためだけに、超越関数を特別に用意するというのも能率的ではありませんね。一般的には超越方程式の解法は、ニュートン法などの近似解法を用いるしか手がありません。しかし、この問題に限れば、ニュートン法を使うまでもなく、x=3ですよね。

関係ないかも知れませんが、ここでちょっと遊ばせて下さい。
x^2=aとなる数xを√a記述したのと同様に、
3^x + 2^x =aとなる数を?(a)と記述しましょう。すると、
3^x + 2^x = 35の解は、
x=?(35)
となるのです。

回答No.5

noname#101087

#4 です。
肝心の個所で明白なミス。訂正しておきます。
-----------------------------------------
EXCEL に書き込み、A=1 として初期近似解 x0=0 を与えると、4回目でほぼ収束。
　　近似解 : x = -0.7879...

回答No.4

noname#101087

>3^x + 2^x = 35
>という方程式に対して、これを数学的に解く方法はあったでしょうか？

解の領域は、整数ではなく実数だとしましょう。
専門家ならいざ知らず、高校レベルも怪しい当方には初対面です。
「数学的解法」はエキスパートに丸投げするとして、Newton パズルを試してみました。

Newton で解くには、擬似多項式(?)にすると楽です。
W=2^x として、上式を W^k+W=A と書き直し、< k=LN(3)/LN(2) >
　　f(W) = W^k+W-A
　　f'(W) = k*W^(k-1)+1
を使って F(W) の零点へ Newton 的にアプローチしようというわけです。

EXCEL に書き込み、A=1 として初期近似解 x0=0 を与えると、4回目でほぼ収束。
　　近似解 : x=0.7879...

「数学的解法」などそっちのけの Newton パズルでした。失礼!

回答No.2

sand-dune

y = 3^x + 2^x - 35　のグラフを考えたら明らかに解が1つなんで、後は2^x = 35 - 3^x ＞ 0　から 0 < x < 4　で xが3の時に満たすからこれかなぁって感じですかね。
x=1,2とかも代入したらさらに範囲も絞れるし。
全然数学的じゃ無いけど、大学入試の解答だったらこんな感じでは？
多分この程度の事分かってて聞いているんでしょうけどねｗ

フェルマーの最終定理と関係がありそうですが僕はあいにく結果しか知らないので。
タダの工学部にはコレが限界です・・・

回答No.1

kakkysan

解く方法がなかったら自分で作り出すのが、数学科に在籍する者の努めでは？
頑張ってください。