広義積分、極限の性質について

質問

広義積分∫(1→∞) sinx/x dxは収束することを示す
∫(1→r) sinx/x dx
=∫(1→r)(-cosx)'/xdx
=[-cosx/x]_(1→r)-∫[1→r](cosx)/(x^2)dx
-(cosr)/rはr→∞のとき収束
∫[1→r](cosx)/(x^2)dxも
∫|cosx|/(x^2)dx≦∫1/x^2dx
が収束するので収束する。

初歩的な質問なのですが、∫1/x^2dxが収束する時なぜ∫(1→r) sinx/x dxも収束するのですか？詳しく教えてください。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

∫1/x^2dxが収束する
⇒∫[1→r](cosx)/(x^2)dxが収束する
⇒[-cosx/x]_(1→r)-∫[1→r](cosx)/(x^2)dxが収束する
⇒∫(1→r) sinx/x dxが収束する