広義積分について

質問

広義積分で、具体的に原始関数が求められないとき、それが収束することを示すには、やはりその関数を挟んで評価すればいいのでしょうか？
たとえば、ベータ関数の収束はxと(1-x)の指数共に-1より大きいことが必要十分条件であることやガンマ関数の収束はxの指数が-1より大きいことが必要十分条件であることなどはどのように示すことができるでしょうか？

また、少し話は変わりますが
1/(x^n*(1-ax))や1/(x+(x^2+x+1)^(1/2))の原始関数は、初等関数で書き表すことは可能でしょうか？

面倒な計算などはこちらで解決しますので、方針だけでも示して頂けると、大変助かります。よろしくお願いします。

回答No.4

noname#221368 · ベストアンサー

#1です。御免なさい、具体的な関数形があったんですね。

　挟み撃ちの簡単な例として、まずsinx/xのx→0の極限をあげます。挟み撃ちするためには、何か使えそうな関数を探す必要があります。例えばy=xなんかで挟めれば好都合です。それで、y＝xとy＝sinxのグラフを描いてみると、添付画像のようになります。そして、x＝0近傍でのsinx/xの有界単調連続ですが、x≠0で連続関数／連続関数なので、結果は連続（本当は証明必要）。常にsinx＜xで、どちらも単調増加なので、割った結果は単調（本当は証明必要）。有界性は、sinx＜xなので、

　0＜sinx/x＜x/x＝1

が成り立ちます。x→0では、

　0≦lim sinx/x≦1

となり、lim sinx/xは存在します。lim sinx/x＝1は、極限の存在を前提として、細かい極限計算を行えば出てきます。

　例えばΓ関数ですが、まず添付画像で定義を確認して下さい。今度は積分の原始関数相手なので、積分して使えるものを探します。以下が最良の方法とは限りませんが・・・。

　最初にzを1以上の整数として、定義の積分で、e^(-t)を先に積分する部分積分をz回行うと、(1)になります。

　次に、任意の－1＜α＜1に対して、(2)を考えます。(2)は、任意の実数－1＜zでΓ関数を考えるのと、同じ意味です。z回部分積分します。右辺を評価すれば良いのがわかります。評価式は(3)と(4)です。

　(3)は0＜α＜1の時，(4)は-1＜α＜0の時です。よって広義積分は存在します。

　(4)より、α≦-1では、以上の話は成り立ちません。でもα≦-1で発散する事を言うには、別途証明が必要です。しかも結果は、z＋α≦-1となる「任意の整数z＋αだけ」で発散します。

　なので、これ以上はこだわらない方が無難と思えます。複素関数の範囲でやってるなら別ですが。

回答No.3

info22_

>1/(x+(x^2+x+1)^(1/2))の原始関数は、初等関数で書き表すことは可能でしょうか？

可能です。

∫1/(x+√(x^2+x+1))dx
=√(x^2+x+1)-ln|2√(x^2+x+1)-x+1|-x+2ln|x+1|-(1/2)sinh^-1((2x+1)/√3)+C

回答No.2

nag0720

1/(x^n*(1-ax))の原始関数は部分分数に分解すれば求められます。

1/(x^n*(1-ax))={1+ax+(ax)^2+(ax)^3+・・・+(ax)^(n-1)}/x^n+a^n/(1-ax)

お礼

分数式が出てきたら、部分分数分解・・・定石ですね。でも、こんな変形は自分では思いつきません。何か手がかりはあるんでしょうか？正直、あまりにもきれいなので感動してしまいました。ありがとうございました。

ほかの質問事項にも是非答えて頂けると大変ありがたいです。

回答No.1

noname#221368

広義積分とは、積分区間の端点（±∞含む）で被積分関数の挙動が怪しいものの事、という前提で書きます。

　上記定義（？）で良ければ、積分区間の端点を除けば原始関数は存在し、当然微分可能で連続という事になります。

　微分可能な連続関数の一番大事な性質は、局所的に有界単調連続という性質だと思います。この性質を利用すると、関数の定義区間の端点まで、連続性を保ちながら関数を延長できます。つまり定義区間の端点で、関数が定義されていなくても、その点を穴埋めできる訳です。定義区間が有界なら、一様連続にもなるはずです。

　よって積分区間の端点を除いた原始関数に対して、有界単調連続を示せば大抵は片付きます。で、示し方ですが、特に有界性から結局は「挟み撃ち」になりますので、「挟んで評価」は一般的な話だと思います。

　後半は、面倒そうなので止めましたが^^；、岩波公式集などで調べる事をお奨めします。岩波公式集で片付かないなら、たぶん初等関数では駄目です。

お礼

なるほど、やはり挟み撃ちですか。
ですが、ベータ関数やガンマ関数をどんな関数で評価すればいいのか検討がつきません・・・

ありがとうございました。