広義積分

質問

(sinx/x)^2を0→∞で
広義積分するのですが、どのように
計算していったらいいのかおもいつきません。

教えて下さい。

回答No.3

stomachman

こういう手もあるのでは？

　不定積分を
　　J(x) = ∫ ((sin(x)/x)^2)dx
とおくと
　　(d/dx)((sin(x)^2)/x) = (2x sin(x) cos(x) - sin(x)^2) / (x^2)
から
　　J(x) = ∫(2x sin(x)cos(x) / (x^2))dx - ((sin(x)^2)/x)
　　 = 2∫(sin(2x) / (2x))dx - ((sin(x)^2)/x)
最初の項は残念ながら初等関数では表せず
　　Si(x) = ∫ sinc(x) dx, Si(0) = 0
　　sinc(x) = (sin(x))/x
を使って
　　J(x) = Si(2x) - (sin(x)^2)/x + C
となる。 (sin(x)^2)/xがx→0とx→∞でどうなるかは明らかなので、問題は x→∞ のときの Si(x)に帰着されます。

　さて、sinc(x) と言えば、フーリエ変換。というのは、理想的なローパスフィルタ
　　F(ω) = (|ω|<1のとき1, さもなくば0)
の逆フーリエ変換は
　　f(x) = (1/(2π))∫{ω=-∞～∞} F(ω)exp(iωx) dω
　　= (1/π)∫{ω=0～1} cos(ωx) dω
　　= (1/(πx))∫{t=0～x} cos(t) dt
　　= (1/π)(sin(x)/x) = (1/π)sinc(x)
であり、従って(1/π)sinc(x)のフーリエ変換は
　　F(ω) = ∫{x=-∞～∞} (1/π)sinc(x) exp(-iωx) dx
である。
　なので、
　　1 = F(0) = ∫{x=-∞～∞} (1/π)sinc(x) dx = (1/π) lim{x→∞} (Si(x) - Si(-x))
そしてSiは偶関数
　　Si(x)=-Si(-x)
だから
　　1 = (2/π) lim{x→∞} Si(x)

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます。

回答No.2

Ae610

少し技巧的にはなるが・・・、
f(z) = (exp{i(a-b)z} －exp{i(a+b)z})/z^2 (a≧b＞0)
としてコーシーの定理を使って解くやり方で解くと
∫[0→∞){sin(ax)sin(bx)/x^2}dx = bπ/2
・・・が求められるのでa = b = 1　とすれば
∫[0→∞){(sin(x)/x)^2}dx = π/2
が求められる!
→良く教科書の例題として載せられている∫[0→∞){sin(x)/x}dx を求める時の積分路(原点を微少半円で除けた上半平面)と同じ積分路で取って!!
(タイムリーというか、つい先日演習問題として載っていたので解いてみた!)

また以前に下記URLで∫(-∞→∞){(sin(x)/x)^2}dxを求める質問に答えた事があるので一応参考に貼り付けておく・・!
----------------------------------------
http://okwave.jp/qa/q5732552.html　　
----------------------------------------
・・・の(4)の部分

お礼

URLみさせていただきました。
ありがとございます。

回答No.1

ask-it-aurora

常識的に考えれば複素関数論を使って計算するのがよいでしょう．コーシーの積分定理の応用としてよく示される関数sin(x)/xの (0, ∞) における積分と要領はまったく同じです．[たとえば次のp.10]
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap12.pdf

厳密にやろうとすると積分と極限の交換をまじめに正当化したりしなければならないので面倒です．実際に計算してみると上の例と(たまたま？)同じ値π/2を得ます．(答えが知りたいだけなら参考URLにあるように計算機に任せてもいいんですが．)

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(sin(x)/x)^2+from+0+to+oo

お礼

なるほど、参考にさせていただきますね。