証明問題：有理数と無理数について

質問

解析学で、実数の基本性質という章の設問です。
問題：相異なる任意の２つの有理数（無理数）の間には、少なくとも１つの無理数（有理数）があることを示せ。
この設問の直前に「実数と有理数の違いは連続性（Cantorの公理）にある」と書いてあったのでそれを用いるのだと思いますが、全く分かりません。どのような方法でもけっこうです。どなたか教えてください。

回答No.2

y_akkie · ベストアンサー

大学では数学科専攻ではないので、高校レベルでの考え方になってしまいますが、宜しければ参考程度でお願いします。（あまり、参考にならないとは思いますが…;)

２つの有利数をa,bとし、a < x < bの範囲に無理数となるxが存在する事を
証明します。
ここで、0 < x - a < b - aとして、y = x - a , c = b - aと置き換え、
0 < y < cとします。そして、cは有利数なので、少なくともy = (√2/2)c
が存在すると言えるので、確かに、２つの有理数の間に少なくとも一つの無理数が存在する事がいえます。

次に、a,bが無理数の場合に有理数となるxが存在する事を証明すると、
ここで、有理数x = p/qと定めると、a < p/q < bすなわち、
aq < p < bqになります。 ここで、(b-a)q > 1になるようにqの値を定めれば、[aq] < [bq]([]は整数部分）となり、さらに bqが正であれば、[bq]< bqより、pは[bq]の値を取れると確実に言え、bqが負であれば、aq < [aq]より、qは[aq]の値を取れると確実に言えるので、(ちなみに、bqは無理数なので０の場合は有り得ません)、確かに、２つの無理数の間にすくなくとも１つの有理数が存在する事がいえます。

お礼

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.1

sanori

２つの有理数の間の数の一例として２者の平均値を使ってみましょうか。

有理数は、整数同士の割り算で表されるので、
２つの有理数を A/a B/b で表すと、両者の平均値は、
(A/a + B/b)/2 = (bA + aB) / (2ab)
この平均値は、やはり整数同士の割り算なので、有理数。

無理数の場合は、
２つの無理数を A , B と置いて、両者の平均値は
(A + B)/2
これは無理数同士の和を整数で割ったものなので、実数。

・・・しかし、平均値というものは、２つの実数の間にあるということの証明も必要だったりして？

お礼

わざわざ回答していただいたあとで申し訳ないのですが、（）内は（）内に対応させて読んでいただいて、「有理数の間に少なくともひとつの無理数」「無理数の間に少なくともひとつの有理数」という２つの証明問題です。書き方が悪かったです。すみません。