無理数は連続ですか？

質問

有理数は無理数によって切断される、そして、その切断する数を無理数という。

つまり、有理数は無理数によって切断されるので連続ではないということは理解できます。

では、無理数の連続性はどのように考えればよいでしょうか？

詳しく説明されているページ等の紹介でもよいです。

よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

そうか, そもそも「有理数は無理数によって切断される」という表現がおかしいんだ. まあもともと「有理数は無理数によって切断される、そして、その切断する数を無理数という」という表現に違和感はあったんだけど (「切断」と「無理数」が循環してる), 「有理数を有理数で切断する」例は簡単に作れるんだ.

あなたがどういう意味で「連続」という言葉を使ってるか知らないけど,
・無理数の集合を「切断」する有理数は存在する
・無理数の極限であるような有理数は存在する
から, 「切断」と「完備」のどちらの意味でも「無理数は連続じゃない」といえる. その他の意味だったら知らん. まず「連続」の定義を示すこと.

お礼

ありがとうございます。

参考になりました。

補足

連続の定義は、

数の集合を上の組と下の組の2つに分断するとき、必ずその境界となる数をその集合自身の中に持っているとき、その集合は連続である。

で考えています。

ま、明らかに

有理数集合を切断する無理数があるし、

無理数集合を切断する有理数がある

から、有理数も無理数も連続でないということですね。。。

回答No.5

alice_44

＞ 連続の定義は、
＞ 数の集合を上の組と下の組の2つに分断するとき、
＞ 必ずその境界となる数をその集合自身の中に持っているとき、
＞ その集合は連続である。
＞ で考えています。

デデキントによる実数論は、有理数の切断によって実数を定義する
ところまではよく知られているが、そのようにして定義された実数に
演算を導入する部分については語られないことが多い。

全ての有理数の集合を上組と下組に分けて、上組の下端も下組の上端も
ともに開端の場合があるから有理数は連続でない…と考えるのと同様に
実数や無理数が連続か否かを語ろうとするのなら、始めに、
切断によって定義された実数の集合上に順序を定義しなくてはならない。
それがなくては、連続不連続以前に「無理数を切断」することができない。

補足に、集合 { (A,B) | A∪B=Q, A∩B=φ, ∀a∈A,∀b∈B,a<b } の元
どうしの大小関係の定義を書いてみよう。まずは、そこから。

お礼

コメントありがとうございます。

回答No.4

alice_44

「連続」という言葉は多義的だが、
「実数は連続」と同じ意味で言っているのなら、
「無理数は連続」ではない。

任意の有理数 A と任意の無理数 B について、
数列 A + B/n の極限を考えてみれば、判る。

解らなければ、「こーシー列」について
検索してみるとよい。

回答No.2

masudaya

無理数は連続ではないはずです．
素朴に考えて,繋がっていることが連続と言うことで
もう少し丁寧に考えると,実数を数直線で表しこれを切る
(これが切断の素朴な描写)この時,必ず1点が切られる．
別に考えると,数直線上のaでの場合分けを考えたとき,
1) x<a,x≧a
2) x≦a,x>a
のどちらかにしかできないと言う頃が連続と言うことです．
上の例を有理数で切断または場合分けをすると,
0点で切られる．または,1)2)どちらも適用できない
と言うことになるので，無理数はで連続でないと考えられます．

お礼

ありがとうございます。

参考になりました。

回答No.1

Tacosan

「無理数の連続性」とやらが「2つの無理数の間には無理数しかない」ということを意味するなら, それはあり得ない.

補足

つまり、無理数は連続ではないということですかね？