実数は連続？超越数も実数ですか？

質問

有理数が連続でないことはわかります．
しかし，いろんなところに実数は連続であるということが書いてあります．
ということは，超越数も実数なんですね？
実数が連続であることをわかりやすく説明しているサイトか図書を
ご存知でしたら教えて下さい．
工学系の大卒ぐらいでわかる内容のものがありがたいです．

回答No.4

Mell-Lily · ベストアンサー

代数的数と超越数については、

　複素数 α が有理数係数の方程式の解であるとき、代数的数であるという。代数的数の全体を Q^- とかく。代数的数でないような複素数を超越数という。

http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/algres.pdf

と定義されます。実数の連続性は、デデキント（Julius Wihelm Richard Dedekind, 1831～1916, Germany）

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dedekind.html

の切断という概念によって解明されます。”切断”とは、

　すべての数を A,B の二組に分けて、 A に属する各数を B に属する各数より小ならしめることができたとするとき、このような組分け (A,B) を Dedekind の切断といい、Aを下組、Bを上組という。

（解析概論 改訂第三版 高木貞治著 岩波書店 p3）

ということですが、これによって、実数の連続性、すなわち、

　実数の切断は、下組と上組の境界として、一つの数を確
定する[Dedekind の定理]

（同）

が確定するのです。

参考URL：

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dedekind.html

お礼

代数的数と超越数の関係はよくわかりました．
「切断」の概念は漠然としかわからないのですが，面白そうですね．
少し勉強します．
「無理数は有理数でない全ての数だけど，だからと言って連続とは限らない．
連続性を判断するには切断の概念が必要．」という理解でいいみたいですね．
ありがとうございました！
（お礼が遅くなって申し訳ありませんでした）

回答No.5

Mell-Lily

無理数論においては、無理数は、「有理数でない数」という定義ではなく、有理数の切断によって定義されます。したがって、実数は、必然的に連続になります。

http://www.mainichi.co.jp/life/dokusho/2002/0616/06.html

参考URL：

http://www.mainichi.co.jp/life/dokusho/2002/0616/06.html

お礼

たびたび，ありがとうございます！
無理数にも定義があるんですね．切断を理解しないとダメそうですね．
「○○以外のすべて」という定義ではないんでしょうね，きっと．
有理数，無理数ともに限定的な定義があるのに，実数が連続であると
すると，それはやっぱり驚きです．ご紹介頂いた図書，読んでみます．
またわからないことがあったら質問しますのでよろしくお願いします！

回答No.3

ranx

お礼と補足についてですが
> 代数方程式の解で表せるもの
これは「代数的数」ですね。
無理数は整数比で表せない数、
つまり有理数でない数ということで
よいはずです。

お礼

ありがとうございます。そうですか、無理数は有理数でない数（全て）ですか。
だとしたら、「実数とはこういうもの」ということを理解するのは困難ですね。
「有理数は無限にあるけど、無理数を有理数では表せない、だから連続でない」
ですよね。無理数を「有理数以外の全ての数」と定義してしまったなら、
連続するのが当然、という気がするんですが、そのために証明が必要に
なるのでしょうか…もう少し勉強します。

回答No.2

ADEMU

個人のサイトのようですが、わりと分かり易く記載されていると思われるので参考ＵＲＬの第９章あたりを読んでみて下さい。

参考URL：

http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math00.html

お礼

ありがとうございます♪
そのサイトは以前，読んだことがあるものでした．残念．
ぼくは，集合が苦手なので，それを避けて理解できないかなって
思っていたんですが…
もう一度，読み直してみますね．ありがとうございました．

回答No.1

uyama33

超越数　e や　π　は実数です。
超越数であることの証明は
Rang の　Algebra　という本にあったかな？

実数の連続性については、

自然数から、整数、有理数、有理数のコーシー列、実数
の順に書いてあるのが、たしか、高等数学教程（ポントリヤーギンかな？）
にあったような気がします。

岩波から、出版されていた気がします。著者は能代清だったかな？

アレキメデス型の完備線形順序体として実数を定義してある本が、都立大学の教授によって書かれていたような気がします。

ほんの名前は後ほど書き込みます。

お礼

早速の回答，ありがとうございます．
実数の定義をお聞きしたいのですが，「有理数と無理数をあわせたもの」
でよろしいでしょうか．
無理数の定義は，「有理数でないもの」ですか？
だとしたら全ての数が実数になってしまうのは仕方ないですね．
ぼくは，「無理数＝代数方程式の解でないもの」と思っていたんです．
出版物は探してみます！

補足

すみません，間違えました．
「無理数＝代数方程式の解で表せるもの」でした．(汗)