合成関数

質問

具体的な関数y=f(x)があり、g(x)=f{f(x)}とするとき、g(x)=1/2をときなさい。という問題がありましたが、f{f(x)}とはなんでしょうか。f{f(x)}＝f(x)ではないのですか。

まったくわからないので教えてください

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

例えば、f(x) = x^2 とすると f(f(x)) = f(x^2) = x^4 ということ

お礼

みなさんありがとうございました。no1さん今回は単純(明快)な回答が分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.3

quantum2000

Ｎｏ．１，２さんの回答で，大方はお解りかと思いますが，
蛇足ながら具体例を・・・

［例１］ｆ（ｘ） ＝ ２ｘ－３　のとき，
　　　　例えば，
　　　　ｆ（４） ＝ ２＊４－３ ＝ ５
　　　　ｆ（－５） ＝ ２＊（－５）－３ ＝ －１３
　　　　ｆ（ａ） ＝ ２＊ａ－３ ＝ ２ａ－３
　　　　ｆ（ａｂ） ＝ ２＊（ａｂ）－３ ＝ ２ａｂ－３
　　　　ｆ（ａ＋ｂ） ＝ ２＊（ａ＋ｂ）－３ ＝ ２ａ＋２ｂ－３
　　　　ｆ（４ｘ） ＝ ２＊（４ｘ）－３ ＝ ８ｘ－３
　　　　ｆ（４ｘ－１） ＝ ２＊（４ｘ－１）－３ ＝ ８ｘ－２－３ ＝ ８ｘ－５
　　　　といったことですから，
　　　　ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ｆ（２ｘ－３） ＝ ２＊（２ｘ－３）－３＝ ４ｘ－６－３ ＝ ４ｘ－９
　　　　つまり，
　　　　ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ４ｘ－９
　　　　なので，このｆ（ｘ）の場合はもちろん
　　　　ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ｆ（ｘ）
　　　　ではありません．
　　　　（一般的に，ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ｆ（ｘ） とはなりません！）

［例２］ｆ（ｘ） ＝ ｘ^2 ＋ ３ｘ － ４ のとき，
　　　　ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ （ｘ^2＋３ｘ－４）^2 ＋ ３＊（ｘ^2＋３ｘ－４） － ４
　　　　　　　　　　　 ＝ ｘ^4 ＋ ６ｘ^3 ＋ ４ｘ^2 ＋ １５ｘ
　　　　といったことになります．

［例３］ｆ（ｘ） ＝ ３ｘ － ４ のとき，
　　　　ｇ（ｘ） ＝ ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ３＊（３ｘ－４）－４ ＝ ９ｘ－１６
　　　　つまり，
　　　　ｇ（ｘ） ＝ ９ｘ－１６
　　　　ですから，ご質問の中にあるように
　　　　　　ｇ（ｘ） ＝ １／２
　　　　を解け，というのであれば，
　　　　　　９ｘ－１６ ＝ １／２
　　　　ということなので，これを解くと，
　　　　　 １８ｘ－３２ ＝ １
　　　　　　　　　１８ｘ ＝ ３３
　　　　ゆえに，
　　　　　　　　　　　ｘ ＝ ３３／１８
　　　　　　　　　　　　 ＝ １１／６
　　　　といった具合に解けますが，
　　　　いかがでしょう？

回答No.2

noname#101087

>... 関数y=f(x)があり、g(x)=f{f(x)}とするとき、g(x)=1/2をときなさい。という問題がありました...

g(x)=f{f(x)}=1/2 ならば、f(x)=y=fa(1/2) ですから、x=fa{fa(1/2)} <ただしfaはの逆関数> とでも書けば「よろしかったでしょうか」。
たとえば、y=f(x)=2x ならば、x=fa(y)=y/2 ですから、
g(x)=1/2 を解くと、x=fa{fa(1/2)}=fa(1/2)=1/2/2=1/4 というわけです。

>f{f(x)}とはなんでしょうか。f{f(x)}=f(x)ではないのですか。

f{f(x)}=f(x) ならば、f(x)=x ですね。
y=f(x) でしたから、f{f(x)}=f(y) とでも書けば「よろしかったでしょうか」。

書いてる本人も目まいがしてきました。