合成関数について

質問

数学の次の問題が分かりません。

f(x)=x-1 (x>3)
g(x)=x^2
とする。このとき合成関数(g○f)(x)は存在するが、(f○g)(x)は存在しないことを示せ。

おそらくf(x)の定義域が関係してくるとは思うんですがイマイチよく分かりません・・・

回答No.2

stomachman

出題者がものをよく分かっていないんでしょうね。

　pが定義域X, 値域Vpの関数であり、qが定義域Dq, 値域Xの関数である、という条件が成立つとき、(p○q)とは定義域Dq, 値域Vpである関数p(q(x))を指し、これをpとqの合成関数と言う。
というのが合成関数の定義。（もちろん、条件が成立たない場合には(p○q)は何も意味しない。）

　さて、ご質問にはfとgに関する式が書いてある。しかし、これだけじゃひとつのf、ひとつのgを指定したことにはなっていないという点にご注意。というのは、
　　f(x)=x-1 (x>3)
という式は、「fが
　　∀x(x∈(fの定義域) ∧ x>3 ⇒ f(x)=x-1)
という性質を満たす」というだけの意味。（∧は and、⇒ は 「ならば」、∀x Pは 「任意のxについてPである」ということを表す記号。知ってますよね？）
　この条件を満たす関数fはいくらでもある。たとえば、
　　定義域がD={ x | x∈実数} 、値域がV={ y | y∈複素数}であって、∀x(x∈D ⇒ f(x) = x-1) である関数f。
　　定義域がD={ x | x∈実数 ∧ x>0} 、値域がV={ y | y∈実数 ∧ y > -100}であって、∀x(x∈D ⇒ f(x) = x-1) である関数f。
　　定義域がD={ x | x∈実数 ∧ x>0} 、値域がV={ y | y∈実数 ∧ y > -99}であって、∀x(x∈D ⇒ f(x) = x-1) である関数f。
　　定義域がD={ x | x∈実数 } 、値域がV={ y | y∈実数}であって、∀x(x∈D ⇒ f(x) = |x-1|) である関数f。
　　定義域がD={ x | x∈実数 } 、値域がV={ y | y∈複素数}であって、∀x(x∈D ⇒ f(x) = max(x-1, 2)) である関数f。
などなど。大抵の場合はこれらを「{ x | x∈実数 ∧ x>3}の範囲でなら同じものだ」として扱えば済んじゃうけれど、定義域・値域を意識しなくてはならない時には、当然区別すべきです。

　ではご質問の問題に取りかかりましょ。

　そもそもfが関数だとは書いてない。さらにfの定義域Dfが明示されておらず、ただ(x>3)と書いてある。xが何者なのかも分からない。これじゃ問題文として落第だが、ま、うんとオマケして強いて好意的に解釈すれば、fは関数であって、定義域Dfが
　　 { x | x∈実数 ∧ x>3} ⊂Df
を満たす、という積もりなのだろうなと。ま、そういうことだとしましょう。
　で、fの値域Vfも書いてないが、fが関数であるのなら、少なくとも
　　f(Df)⊂Vf
でなくてはならないので、Vfは
　　f(Df) = { f(x) | x∈Df }
を部分集合として含む。

　gが関数だとは書いてないが、ま、オマケして関数だと思ってあげよう。gの定義域Dgと値域Vgについては何も書いてない。つまり、いろんな関数がgになりうる。
　上記の定義により、fとgが関数であるとき、(g○f)が合成関数であるためには、gの定義域Dgとfの値域Vfとが一致(Dg = Vf)していさえすれば良い。
　なので「関数gの定義域Dgが
　　f(Df)⊂Dg
を満たす」ということが「合成関数(g○f)が存在する」ことの十分条件である。そして、このような関数f, gは実際に存在する。（たとえば、
　　Df={ x | x∈実数} ∧ Vf={ y | y∈実数} ∧ ∀x(x∈Df ⇒ f(x) = |x-1|)
　　Dg=Vf ∧ Vg=複素数 ∧ ∀x(x∈Dg ⇒ g(x) = x^2)
でも良い。）だから「合成関数(g○f)が存在する」と言える。

　一方(f○g)はどうか。fの定義域Dfとgの値域Vgとが Vg = Df を満たせば、(f○g)は合成関数になる。だから、gの定義域Dgが
　　∀x(x∈Dg ⇒ g(x)∈Vg)
を満たしていれば、(f○g)は合成関数になる。条件を満たすf, gはもちろん存在するんで、「合成関数(f○g)(x)は存在しない」は偽である。
　fとして、最もせせこましい
　　定義域がD={ x | x∈実数 ∧ x>3} 、値域がV={ y | y∈実数 ∧ y > 2}であって、∀x(x∈D ⇒ f(x) = x-1) である関数f
を選んだ場合でさえ、関数gの定義域が
　　Dg⊂ { x | x∈実数 ∧ (x>√3 ∨ x<-√3)}
を満たせば合成関数(f○g)が存在するわけで、たとえば
　　定義域がD={ x | x∈自然数 ∧ x>1} 、値域がV=複素数であって、∀x(x∈D ⇒ g(x) = x^2) である関数g
でも良い。

回答No.1

noname#200770

おそらく、すべてのｘについてｘ＾２＞３とは限らないということを言いたいのでしょうね。｜ｘ｜≦√３のときｇ（ｘ）＞３をみたさないからｆ（ｇ（ｘ））とできないという。

特にｇの定義域がはっきり書かれてないけどきっと実数全体と思わせたいんでしょう。悪意のある詐欺みたいな問題。