関数の微分可能性に関する問題

質問

試験問題で解けなかった問題をやり直しています。
関数f(x)を
　f(x)=x^2sin(1/x) (xが0以外のとき)
　f(x)=0 (x=0のとき)
と定めるとき、2変数x、yの関数
z=y^2+f(x)
はx=0,y=0において全微分であることを示し、この関数のグラフとして
描かれる(x,y,z)空間内の曲面の原点(0,0,0)における接平面を求めよ。

授業にもあまりついていけてなかったので
今教科書を見ながら考えているのですが
方針としてはz=y^2+f(x)=g(x,y)とおいて
g(x,y)が(x,y)=(0,0)で全微分可能⇔g(x,y)が点(0,0)で連続
⇔(x,y)を(0,0)に近づけたときのg(x,y)の極限がg(0,0)と等しい
ということを示そうと思うのですが、そんな感じの解き方でいいんでしょうか？
接平面はひとまず置いておいて、g(x,y)が(0,0)で全微分であることを
とりあえず示そうと思うのですが、アドバイスお願いします・・・

回答No.3

gef00675 · ベストアンサー

教科書をよく読みましたか？
「f(x,y)の(x0,y0)における偏微分係数f_x(x0,y0),f_y(x0,y0)が両方とも存在し、かつ、どちらかの偏導関数が(x0,y0)の近傍で存在してそれが(x0,y0)で連続であれば、f(x,y)は(x0,y0)で全微分可能である」
と書いてあったでしょう？　この条件を１個１個確かめるだけです。

いまの場合、z=y^2+f(x)で、yに関する偏導関数はz_y=2yで、これが(0,0)で連続なのは明らかだから、あとはxに関する偏微分係数が(0,0)で存在することを示せばよいことになります。z_x(0,0)が存在するかどうかは、f(x)がx=0で微分可能であるかどうか、つまり、
lim(f(0+h)-f(0))/h
の極限が存在するかどうかがポイントになります。

回答No.2

gef00675

示し方としては
・全微分可能の定義にそって、忠実に確かめる。
・全微分可能の十分条件（偏関数の連続性）を利用する。
があります。
とりあえず、助言しておくと、
全微分可能⇔連続
は間違いで、関数の連続性は全微分可能性の必要条件でしかありません。

お礼

アドバイスありがとうございます
全微分可能と連続は⇔では結べないんですね；
全微分可能の十分条件というのはf(x,y)に対し偏導関数f_x(x,y),f_y(x,y)が存在し
かつこれらが連続であればf(x,y)は全微分可能である
という定理でしょうか？
でも今回の問題は(0,0)という1点で全微分可能であることを言えばいいみたいですが
この定理によれば、x=0の場合f(x,y)=y^2+0 となるので
f_x(x,y)=0 f_y(x,y)=2yとなってこの2つの関数はどちらも連続なので
全微分可能であるってことでいいんでしょうか？

回答No.1

koko_u_u

>g(x,y)が(x,y)=(0,0)で全微分可能⇔g(x,y)が点(0,0)で連続

よーし。もう一度教科書を読むんだ。

お礼

すみません・・・
教科書読み直したらこの2つの条件は⇔では結べないみたいですね・・・