合成関数について

質問

先日、数IIIで合成関数について学びました。
名前を見たときある2つの関数を合成するんだなと思い話を聞いていると、
(g○f)(x)と(f○g)(x)という二つの合成の仕方があることがわかりました。
ここで質問なんですが、(g○f)(x)のときと(f○g)(x)のときでは何が違うのでしょう？
2つとも同じ2つの関数を合成しているという点では変わらないのに、
なぜ合成後では関数が異なるのでしょう？

後もうひとつ、合成関数とはどのようなときに用いるのでしょうか？
問題集にはただ単に合成しているだけで具体的にどのような場面で使われているか知りたいです。

どなたか教えてください。
お願いします。

回答No.1

Oxia · ベストアンサー

(g○f)(x)はxにfの操作をしてから、その結果にgの操作をする、
(f○g)(x)はxにgの操作をしてから、その結果にfの操作をする、というのがスタンダードな説明ですね。
たとえば、簡単に
f:a↦b b↦c c↦d d↦a
g:a↦c b↦a c↦b d↦d
とします。
(g○f)(a)だと、まずaにfの写像から行う事になりますので、
(g○f)(a)=g(b)となり、これはaです。

それに対し、(f○g)(a)だと、まずaにgの写像から行う事になりますので、
(f○g)(a)=f(c)となり、これはdです。

このように、結果が異なります。
同じ２つの関数を合成していますが、順番がちがうのでこのような事になるのです。
順番は、右から左の順番です。

回答No.4

ENPIRE

簡単です。楽に微分するためです。本質的なことは、大学で、関数を学んでください。たとえばf(x)＝(2x＋1)⁶のとき、f'(x)＝6(2x＋1)⁵・(2x＋1)'なんて簡単にできる。。。展開しなくても計算できるように工夫したわけです。だからf・g＝g・fも成り立ちません。行列のAB≠BAとおなじです。(まだやってないでしょうけど)だからそんなこと気にしないで頑張って。。。。おれ去年似たようなことで勉強の集中きれて千葉大落ちたんだから(涙)

回答No.3

ENPIRE

この関数の存在する理由は対数関数とおなじ。(ｘ＋１)⁵の微分なんて合成関数の概念がなかったら展開しなきゃいけない。だから、計算を効率よく進めるために作った新しい計算方式です。あと、ｆ・ｇとｇ・ｆが恒等式にならないのは、そういうものではないからです。ただ、楽に計算するもの。それだけわかってれば高等数学においてはなんの障害にもなりません。ｆ’ｇ・ｇ’なんて公式よりもまず指数を前に出して、一つ減らして、中身の関数を微分してくっつける。それだけのものとして扱っていれば問題ありません。なぜかと言えば具体的な扱いは大学のはんいだからです。

回答No.2

connykelly

>(g○f)(x)のときと(f○g)(x)のときでは何が違うのでしょう？

具体的にf(x)=x-1、g(x)=2xという関数を考えて見ます。
(g○f)(x)はg(f(x))とも書かれます。つまり関数g(x)の変数xのところにf(x)を代入すればよいということなので(g○f)(x)=g(f(x))=2×f(x-1)=2×(x-1)=2x-2となります。また同様にして(f○g)(x)=f(g(x))=2x-1ですね。

>後もうひとつ、合成関数とはどのようなときに用いるのでしょうか？

一つの例として（ちょっと難しいかもしれませんが）ここのサイトをご覧ください。雰囲気はつかめると思います。http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/useCompositeFunction/

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/useCompositeFunction/