数学の問題を教えてください。

質問

宝探しの問題で、「寺の位置が分かりませんが、そこからａ点までまっすぐ行きます。ａから左に９０°に寺からＡ点までと同じ距離を進みます。そこをＡ点とします。今度は寺かｂ点までまっすぐ行きます。次にｂ点から右に９０°に寺からｂ点までと同じ距離を進みます。そこをＢ点とします。Ａ点とＢ点の真ん中に宝があります。その宝のある場所を求めなさい。」というものでした。今、授業でベクトルと行列を習っているのでそれを使うのだと思うのですが、全く分かりません。誰か分かりやすく教えてください。お願いします。

回答No.4

zabuzaburo · ベストアンサー

計算が楽になるよう座標軸を取ってみましょう。
abの中点が原点になるようにし、a(r, 0), b(-r, 0)として、
寺の位置をX(p, q)とします。
(X→a) = (r - p, 0 - q)であり、
これを左に90度回転した(a→A) = (q, r - p)
したがって(O→A) = (O→a) + (a→A) = (r + q, r - p)
全く同様にして(O→B) = (- r - q, r + p)
ゆえに宝のあるABの中点Yは
(O→y) = [(O→A) + (O→B)] / 2 = (0, r)
すなわちYはabを斜辺とする直角二等辺三角形の直角の頂点となります。
分からないところがあれば指摘してください。

お礼

詳しく教えてくださってありがとうございます。御指南通りにやってみると解けたのですごく嬉しいです。本当にありがとうございました。

回答No.5

oshiete_goo

No.1に補足いただいて, 問題は確定し, 解答もNo.4 zabuzaburo氏の回答のように筋道はなると思います. ただ, ベクトルや行列を習いたての学習者の答案にするにはもう少し補っておいた方が良いかも知れません.

ベクトルor行列or複素数の知識として
「ベクトル(o→a)=(x,y) を反時計回りを正として
＋90度回転したベクトルはベクトル(-y,x)
－90度回転したベクトルはベクトル(y,-x)」

内積で直交性は言えて，後は図を書けば確認できるでしょうが，
証明は回転行列を使うか，x+iyに複素数cos90+i*sin90=±i をかけて，
x'+iy'=(x+iy)*(±i)=±(-y+ix) （複号同順で，＋は＋90度回転，－は－90度回転）とやって，実部と虚部を取り出せばよいでしょう．
(注)"90"は90^O のことです．

＞全く同様にして(O→B) = (- r - q, r + p)
ここは，前と回転が逆なので，(X→b) = (-r - p, 0 - q), これを右に90度回転した(b→B) = (-q, r + p) を実際に示しておいた方が無難です． 以下略

お礼

授業でさっぱり分からなかったところが、理解できたような気がします。すごく分かりやすくて助かりました。本当にありがとうございます。他の方々も親切に教えてくださりありがとうございます。また分からない問題が出てきたときには教えてください。

回答No.3

noname#251407

図に書いて（表して）見て下さい。
　答えは出ますよ。

補足

何度か図に書いて書いてみたのですが、ＡとＢの位置がずれたら宝の位置もずれるので私の今の数学の理解力では分かりませんでした。式とかは使うのですか？もう少し詳しく教えてください。

回答No.2

arumagiro

私が問題を解けないだけかもしれませんが、問題に条件が足りないようなきもするのですが。

A点とB点が同じ位置ならそこは一つしか存在しないと思いますが、その間となると無限な可能性がある様に思えるのですが、いかがでしょうか。
AB点と宝の位置の距離などに前提条件などは無いのでしょうか。

ちょっと回答に興味があるので、回答になっていないかもしれませんが。

補足

私も良く分かっていないのですが、具体的な数字ではなくアルファベットを代入したままでも答えが出るらしいのです。そしてＡＢの最短距離の真ん中に宝があるとしか言われませんでした。ＡＢがどこか分からないのなら寺にも可能性があることになるし、この問題に当てはまる公式でもあるのでしょうか。

回答No.1

oshiete_goo

＞ａから左に９０°に寺からＡ点までと同じ距離を進みます。
これは"ａ"点までと同じ距離では？

そうでないと寺とａ点が異なる限り, 平面幾何ではそんな点Ａは存在しないと思います．

＞寺かｂ点
「寺から？ｂ点」でしょうか

ａ点，ｂ点の位置が不明なのでよくわかりませんが，仮にこの修正をしても，情報不足で決定不能のように思えるのですが．．．
問題全体は本当にこれだけなのでしょうか．

補足

ごめんなさい。「ａから左に９０°に寺からＡ点まで」は「ａから左に９０°に寺からａまで」の間違いです。ａ点とｂ点の位置は分からなくても解けると言われました。
Ａ｛０，－１｝　×　Ｘ｛ｘ１｝で｛ｘ１｝＝｛２｝を入れてＡＸ＝｛－３｝を
　　１，　０　　　　　　ｘ２　　　ｘ２　　　３　　　　　　　　　　２
参考にすればいいと言われました。そうするとＡ｛１，０｝の時のＡＸ＝｛２｝の
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０，１　　　　　　　　３
ベクトルより左に９０°動いたベクトルになることとＡの数字を入れ替えると右にも９０°動くことがポイントらしいのです。この問題はどこかの本から持ってきた（しかも若干内容を変えて）ものを口頭で言われました。せめてどこの本か分かれば良かったのですが・・・。フォントの関係で｛　｝のしたの数字がずれると思います。｛｝の間の数字のしたに下の行の数字が来て、本当は２段の数字を｛｝で囲んだ２×２と２×１の行列です。