高2の春休みの宿題の数学の行列の問題なんですがわかりません。誰かよろし

質問

高2の春休みの宿題の数学の行列の問題なんですがわかりません。誰かよろしければ教えてください。
問題は行列Ａ＝（a 　b　 2　 c　）　←本当は左から左上　　右上　　左下　　右下です。書き方がわからないのでこうしました。ややこしくてすみません。
があり、Ａの2乗＝2Ｅを満たしている。ただし、Ｅは単位行列である。で行列Ａの表す移動（1次変換）によって点（1,1）が移される点がｙ＝2ｘ上にあるとき、Ａを求めよ。という問題です。分かる人いたら教えてください。お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

A=
[a,b]
[2,c]

A^2=
[a^2+2b,ab+bc]
[2a+2c,2b+c^2]
=2E=
[2,0]
[0,2]

a^2+2b=2, b(a+c)=0
2(a+c)=0 , 2b+c^2=2

c=-k, b=1-(1/2)k^2, a=k(kは任意定数)…(★)

A=
[k,1-(1/2)k^2]
[2,-k]

[x]
[y]=
[k,1-(1/2)k^2]
[2,-k]
*
[1]
[1]=
[k+1-(1/2)k^2]
[2-k]

移動点(x,y)=(k+1-(1/2)k^2,2-k)が
y=2x上にあることから
2-k=2(k+1)-k^2
整理して
k^2-3k=k(k-3)
k=0,3

(★)に代入して
c=-k, b=1-(1/2)k^2, a=k
a=c=0,b=1 または a=3,b=-7/2,c=-3

この2つ組を行列Aの式に代入すれば良い。
Aの答えは2組存在しますね。

回答No.2

alice_44

行列 A =
[ a　b ]
[ 2　c ]

を２乗して、A^2 =
[ a^2+2b　ab+bc ]
[ 2a+2c　2b+c^2 ]。

これが 2E に等しいのだから、
a^2 + 2b = 2,　　…(1)
b(a + c) = 0,　　…(2)
2(a + c) = 0,　　…(3)
2b + c^2 = 2　　…(4)
である。

A の表す一次変換は、点 (1, 1) を点 (a+b, 2+c) へ移す。
この点が y = 2x 上にあるのだから、2+c = 2(a+b) 　…(5)
が成り立つ。

(3) より c = -a。これを (1)(2)(4)(5) へ代入すると、
a^2 + 2b = 2,　　…(X)
2-a = 2(a+b) 　…(Y)
となる。

(Y) より 2b = 2 - 3a。これを (X) へ代入して、
a^2 -3a = 0。これを解いて、a = 0 または 3。　　←解は２個見つかった。

a = 0 のとき、A =
[ 0　1 ]
[ 2　0 ]。

a = 3 のとき、A =
[ 3　-7/2 ]
[ 2　-3 ]。