次の大学数学の問題の解答解説をお願いします。

質問

a=(1+√2,2-√2,1+√2),b=(-1+√3,-2,-1-√3)
3次正方行列Aが上のベクトルaとbについてAa=b,Ab=aをみたし,detA=2を満たすとき,
Aの固有値をすべて求めなさい。ただし,detAはAの正方行列をあらわす。

回答No.1

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「detAは、Aの正方行列」というのは意味が分からないので、detAはAの行列式、という風に読みかえます。

{a, b}は一次独立で、a+b, a-bも共に零ベクトルでない。A(a+b) = a+b より、a+bは Aの固有ベクトルで、固有値は1。A(a-b) = b-a = -(a-b)より、a-bはAの固有ベクトルで、固有値は-1。
一般に、固有値は固有多項式の根の総積に等しいから、残る固有値は-2でなければならないことが分かる。
従って、答えは1, -1, -2