至急！次の実に次形式の符号数を求めてください（><

質問

数学・幾何の問題です。
(1)xy+yz
(2)x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx
(3)x^2+xy+yz
(4)x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx

明日がテストで急ぎなんです：
分かる問題だけでもいいんで教えてください（＞＜）

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)
X=(x+y√2+z)/2
Y=(x-y√2+z)/2
とすると
xy+yz=(X^2-Y^2)/√2
符号数は
0

(2)
X=(x+y+z)/√3
Y=(y-z)/√2
とすると
x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx=3X^2+2Y^2
符号数は
2

(3)
A=
(1,1/2,0)
(1/2,0,1/2)
(0,1/2,0)
とすると
x^2+xy+yz=(x,y,z)A(t(x,y,z))
Aの固有方程式
f(t)=|tE-A|=t^3-t^2-(t/2)+(1/4)=0
に対して
f(-1)=-5/4<0
f(0)=1/4>0
f(1)=-1/4<0
f(2)=13/4>0
だから
固有値をα,β,γとすると
-1<α<0<β<1<γ<2
だから
符号数は
1

(4)
X=x/√3+y/√3+z/√3
Y=-x/√2+y/√2
Z=x/√6+y/√6-2z/√6
とすると
x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=2X^2+(Y^2+Z^2)/2
符号数は
3