３元の連立方程式の空間での位置

質問

y=2x
z=y+1
とします。
z=2x+1
も出ます。
これを、xyz空間に描こうとすると、
各、xy, yz, zx 平面に直線が引けますが、
３本の直線になるのでしょうか。

各、xy, yz, zx 平面
について、
xy 平面の直線（y=2x）はz方向には無限に広がり、平面になると思います。
同様にyz 平面の直線もそうなります。
すると２平面は交わり、直線になるはずです。

そうしたらその直線は、zx 平面の直線をx方向へ無限に伸ばした平面とも重なり、結局３つの式の合致する座標は直線の集まりとなるのでしょうか。

補足：
x+y+z=1は、平面になると思いますが、上記の式が直線になることと、何が異なってそうなるのでしょうか。一式に、x,y,zすべてが入るという点で、そのような平面という特徴が生じるのでしょうか。

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ちなみに私がこの問題意識を持ったきっかけは、複数の変数が存在する式（経済学や会計学で）で、どのような図形が生じるのだろうか、という疑問です。高校の時の解析？でちょっとそういったこと、やったなあと思いまして。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

xyz空間では
y=2x
は平面になります(直線ではありません)
z=y+1
も平面になります(直線ではありません)

z=2x+1
は(平面y=2xと平面z=y+1の交線を通る)
平面になります(直線ではありません)

平面y=2xと平面z=y+1の交線は

(x,y,z)=(x,2x,2x+1)=x(1,2,2)+(0,0,1)
(x,y,z)=x(1,2,2)+(0,0,1)
(x,y,z)-(0,0,1)=x(1,2,2)
(x,y,z-1)=x(1,2,2)

x=y/2=(z-1)/2

となります

xyz空間では
等式の数が1つの場合は平面の式になり
線形独立な等式の数が2つの場合は直線の式になるのです
線形独立な等式の数が3つの場合は点になるのです

z=2x+1
は
z=y+1にy=2xを代入した式なので
y=2x
z=y+1
z=2x+1
の3つの平面は線形独立ではないので
その内2つが線形独立なので直線の式になるのです

回答No.2

gamma1854

F(x, y, z)=0 は一般に「曲面」になります。また、３変数について１次式、
ax+by+cz+d=0, (a~d は定数) ... (*)
であるときはもちろん「平面」です。
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ベクトル (a, b, c) は平面(*)の法線ベクトル(の１つ)であり、平面上のどの点においても同じです。
ベクトル (2, -1, 0) は平面 y=2x の法線ベクトルです。