方程式の問題でしょうか？

質問

以下の問題の解法を教えてください。

すべての正の数、aとbにおいて、
F(a+b)=F(a)+F(b) の数式と等しくなるものはどれか？

１）F(x)=x＾2
２）F(x)=x+1
３）F(x)=√x
４）F(x)=2/x
５）F(x)=-3x

いろいろと考えて、x/2にして、x/2+x/2と等しくなるものとか考えたのですが、だめでした。お願いします。

回答No.6

noname#77845 · ベストアンサー

１）F(x)=x^2の場合、
左辺：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
右辺：a^2+b^2
左辺-右辺=2ab
なので、×
２）F(x)=x+1の場合、
左辺：a+b+1
右辺：(a+1)+(b+1)=a+b+2
左辺-右辺=1
なので×
３）F(x)=√xの場合両辺を2乗して
左辺：(√(a+b))^2=a+b
右辺：(√a+√b)^2=a+2√ab+b
左辺-右辺=2√ab
なので×
４）F(x)=2/xの場合
左辺：2/(a+b)
右辺：2/a+2/b=(2a+2b)/ab=2(a+b)/ab
左辺-右辺=((a-b)^2)/(ab(a+b))
なので×
５）F(x)=-3xの場合
左辺：-3(a+b)
右辺：-3a-3b=-3(a+b)
左辺-右辺=0
なので○

おまけ
＃５さんのおまけは？
条件「すべての正の数、aとbにおいて」なのですが…。

お礼

ありがとうございます。置き換え方の思考がまったく逆でした。

回答No.5

ht1914

私も基本的には＃１のご回答と同じように正直にやっていけばいいと思います。
ちょっとやってみる手間を惜しんでいるのではないでしょうか。
Ｆ（ａ＋ｂ）＝Ｆ（ａ）＋Ｆ（ｂ）
が成り立つと言っているわけですから
Ｆ（ａ＋ｂ）を求めてＦ（ａ）＋Ｆ（ｂ）と比べてみればいいのです。文字でやるのが難しければまず簡単な数字を入れてみればいいです。
一回で決まるかどうかは分かりませんからいくつか入れてみればいいと思います。
ａ＝１，ｂ＝１，でａ＋ｂ＝２ではどうですか。これだと一回で決まってしまいます。ａ＝１，ｂ＝０，ａ＋ｂ＝１の場合は（２）（４）が駄目と言うことが分かるだけですから別の数字をまた入れればいいです。
色々やってみたと書いてありますがいろいろの中身が不足だと思います。
もしかしてＦ（ａ＋ｂ）＝Ｆ（ａ）＋Ｆ（ｂ）
という条件式の意味が分からなかったということでしょうか。

おまけ
ａ＝０の場合、ａ＋ｂ＝ｂですから条件式は
Ｆ（ｂ）＝Ｆ（０）＋Ｆ（ｂ）
になります。これからＦ（０）＝０となります。
（２）、（４）は駄目ということがわかります。

お礼

ありがとうございます。一度、ある方向で考えてしまうと、思考が硬くなってしまいます。柔軟にいろいろと考える能力がないようです。

回答No.4

tarame

まずは　a+b を代入して計算してみましょう！
比較しても「＝」になることが確認できない場合は
a,bにいくつかの値を代入してみましょう。
１組でも成り立たない例が見つかれば、その式は成り立ちません。

たとえば(3)では、a＝9，b＝16

回答No.3

mgsinx

４）F(x)=2/x　は　４）F(x)=x/2　の間違いでしょうか。

例えば１）の場合は
　F(a+b)＝(a+b)^2＝a^2 + 2ab + b^2
　F(a) + F(b) ＝a^2 + b^2
であり、上下の式を見比べると、全てのa, bにおいて2ab＝0とは限らないので、１）は解答に含まれません。

以上の要領で２）～５）もやってみてください。

回答No.2

happy2bhardcore

そのまま置き換えて、1つずつ計算してみてはいかがでしょうか

例えば
1)x=a+bのとき　F(a+b)=(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2
x=a,bのとき　F(a)+F(b)=a^2+b^2
これはF(a+b)=F(a)+F(b)になりませんね？

回答No.1

mmk2000

１）のみ
左辺＝(a+b)^2
右辺＝a^2+b^2
左辺と右辺が等しくないから×

このようりょうで全部確かめてみてください。

お礼

ありがとうございます。